Линейная функция. Уравнение прямой. Парабола

Линейная функция называется также линейной зависимостью или линейной регрессией. Уравнение подчёркивает, что y зависит от x, а не наоборот. Уравнение , напротив, указывает на равноправие переменных и применяется, когда линейная комбинация образует новую величину, например, производственные затраты.

Любая линия (не только прямая) пересекает ось абсцисс (ось OX), когда , а ось ординат (ось OY) – если . Поэтому для поиска точек пересечения линии с системой координат подставляем эти значения по очереди в уравнение линии, находим другую координату и тем самым – точку пересечения.

С точки зрения математического анализа запись точнее. Принятая форма записи связана с традициями аналитической геометрии.

ЛФ1. Отметьтеточки в декартовой системе координат:

ЛФ2.Постройте прямые, параллельные осям координат:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Как выглядят прямые и ?

ЛФ3.Постройте прямые, определив точки пересечения с осями координат:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ;

5) а) ; б) ; в) ; г) ;

6) а) ; б) ; в) ; г) .

Пример 1. Построим прямую .

Если , то , откуда и соответственно . Значит, прямая пересекает ось OY (на которой ) в точке .

Если же , то , откуда . Поэтому прямая пересекает ось OX (на которой ) в точке .

Отмечаем на оси OX точку , на оси OY точку и проводим прямую, проходящую через эти точки.

Пример 2. Построим прямую :

а) если , то , откуда и ;

б) если , то , откуда и .

Отмечаем на оси OX точку , на оси OY точку , и проводим прямую, проходящую через точки.

ЛФ4.Постройте прямые, заданные уравнением с угловым коэффициентом:

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример 3. Построим прямую :

а) пусть , тогда . Отмечаем точку ;

б) пусть , тогда . Отмечаем точку .

Прямая проходит через А и В (и продолжается в обе стороны).

Замечание. При слишком близких значениях x прямая получится неточно. Не следует также брать x, при которых получается большое (по модулю) значение y.

ЛФ5.Постройте прямые, обращая внимание на зависимость расположения прямой от знака и величины коэффициентов:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ; ж) ; з) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ; ж) ; з) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ; ж) ; з) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ; ж) ; з) .

ЛФ6.Постройте параболы любым способом:

1) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ; ж) ; з) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ; ж) ; з) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ; ж) ; з) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; e) ; ж) ; з) .

Пример 4. Построим параболу .

Если , то . Парабола пересекает ось OY в точке .

Чтобы найти точки пересечения с осью OX, решаем уравнение , получаем точки и .

Перед квадратом стоит знак «–». Значит, ветви направлены вниз. В уравнении отсутствует линейное слагаемое px, поэтому вершина находится на оси OY. Общий вид параболы дан на рисунке 1. Ось OY проходит через точку

Рисунок 1 – Парабола

ЛФ7.Постройте параболы, указав вершину и точки пересечения с осями координат (если такие точки есть):

1) а) ; б) ; в) ;

г) д) ; е) ;

2) а) ; б) ; в) ;

г) д) ; е) ;

3) а) ; б) ; в) ;

г) д) ; е) ;

4) а) ; б) ; в) ;

г) д) ; е) .

Пример 5. Построим параболу .

Пусть , тогда . Парабола пересекает ось OY в точке .

Решим уравнение . Получим точки и . В них парабола пересекает ось OX.

Когда парабола задана уравнением

, её вершина находится по формуле

. В нашем случае

, поэтому

. Соответственно,

, и вершина – в точке

. Ветви идут вверх – перед квадратом в уравнении стоит знак «+». Ось OY проходит через

(рисунок 2).

Рисунок 2 – Парабола

Пример 6. Построим параболу .

Ветви направлены по горизонтали, поскольку x квадратично зависит от y. При этом перед квадратом в уравнении стоит знак «+» и ветви идут в положительном направлении – вправо.

Пусть , тогда . Решение уравнения – точки и , в них парабола пересекает ось OY.

Если , то и парабола пересекает ось OX в .

Вершину находим по формуле

при

, поэтому

. При этом

. Вершина параболы находится в точке

(рисунок 3).

Рисунок 3 – Парабола

Элементарные преобразования графиков

Пусть на некотором промежутке (интервале или отрезке) построенграфик функции . Тогда на основе этого графика:

1)а) график функции получается сдвигом вправо на p единиц;

б) график функции получается сдвигом влево на p единиц;

в) график функции получается сдвигом вверх на P единиц;

г) график функции получается сдвигом вниз на P единиц.

Эти преобразования называются сдвигом графика;

2) а) график функции получается сжатием в k раз вдоль оси ОХ

( в k раз приближается к оси OY);

б) график функции получается растяжением в K раз вдоль оси OY

( в K раз отдаляется от оси ОХ).

Эти преобразования называются растяжением графика;

Кроме того,

а) график функции получается отражением от оси OX;

б) график функции получается отражением части, лежащей ниже оси ОХ, относительно этой оси. Затем график под осью ОХ удаляется. Часть, лежащая выше оси OX, не меняется.

Область определения функции (если таковой областью не служит вся числовая ось) меняется в случаях 1а, 1б и 2а; область значений – в остальных случаях.

ЭП1. Постройте график функции . При помощи элементарных преобразований постройте графики функций .

1) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

2) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

3) ;

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) ;

4) (правая ветвь);

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; и) ;

к) ; л) ; м) .

Замечание 1. График функции строится на полуоси , поскольку не определено. Соответственно строятся и все последующие графики, например – на , – на , и т.п.

ЭП2. Постройте графики при помощи элементарных преобразований:

1) а) ; б) ; в) ;

2) а) ; б) ; в) ;

3) а) ; б) ; в) ;

4) а) ; б) ; в) ;

5) а) ; б) ; в) ;

6) а) ; б) ; в) ;

7) а) ; б) ; в) .

Пример 1. Пусть . Поскольку и при этом , то , или . Строим параболу , а затем

а) смещаем на 1 ед. влево – теперь вершина не в точке , а в точке . Получаем график функции ;

б) растягиваем в 2 раза по вертикали. Точка превращается в , точка – в точку , и т.д. Получается график функции ;

в) поднимаем график на 3 ед. Вершина оказывается в точке .

ЭП3.Постройте схематичные графики функций

а) при помощи асимптот и точек пересечения с осями координат;

б) при помощи элементарных преобразований графика функции :

1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

4) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример 2. Построим график функции .

1-й способ. В точке знаменатель обращается в 0, а при значения очень велики. Это означает, что – не только координаты точки, которую нельзя подставить, но и уравнение вертикальной асимптоты.

Горизонтальная асимптота – это прямая, к которой приближается график при очень больших x (при ). Легко заметить, что при больших значениях x дробь . Значит, – уравнение горизонтальной асимптоты.

График пересекает ось OY, когда , при этом .

График пересекает ось OX, когда . Из уравнения находим, что , и потому .

Итак, график пересекает ось OX в точке , ось OY – в точке , уходит в бесконечность вдоль вертикальной прямой , а при удалении вправо и влево приближается к горизонтальной прямой .

2-й способ. Чтобы построить график при помощи элементарных преобразований, функцию следует привести к виду или к виду , где – некоторые числа.

Заметим, что , и выделим в числителе часть, пропорциональную замеченной скобке : , тогда (сокращение на 2 во 2-й дроби случайно). Получили, что , и тогда ;

а) строим график функции ;

б) сдвигаем его на 4 ед. влево – график вытягивается по вертикали не вдоль оси OY, а вдоль прямой ;

в) отражаем график относительно оси OY – ветви «переворачиваются»;

г) поднимаем график на ед.– ветви вытягиваются вдоль прямой .

§ 3. Аналитическое задание функций

Функция задана аналитически, если предложена некоторая формула, по которой для каждого конкретного аргумента x можно найти соответствующее значение y. В общем случае это зависимость , но если её можно свести к виду , то говорят, что функция задана в явном виде.

Например, – неявно заданная функция . В то же время – функция в явном виде. С другой стороны, можно вести речь о двузначной функции , определённой при , поскольку для любого возможны 2 значения x (при функция не определена, при получим ).

Задача о поиске зависимости на основе известной неявно заданной функции возникает, например, при решении дифференциальных уравнений или при построении графиков. Кроме того, необходимость выразить переменную x через переменную t, когда дана зависимость , появляется при интегрировании функций.

АЗ1. Выразите y как функцию . Найдите значение . Укажите область определения функции:

1) а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

2) а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

3) а) ; б) ; в) ;

4) а) ; б) ; в) ;

5) а) ; б) ; в) ;

6) а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Пример 1. Пусть . Если и , то обратные величины также равны: , и . Функция определена при .

В точке условие превращается в невозможное равенство , а при вычислении получаем деление на 0. Если же , то .

Ответ: .

Пример 2. Пусть . Очевидно, . Сам же логарифм может принимать любое значение (в отличие, например, от квадратного корня или синуса), поэтому ограничений на нет, и тогда x – любое число.