Основные элементарные фукции и их графики

Понятие функции и элементарной функции

Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества. Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.

Всякая функция f, которая может быть задана с помощью формулы y = f(x), содержащей лишь конечное множество арифметических операций над основными элементарными функциями и композиций, называется элементарной функцией

Основные элементарные фукции и их графики

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой y равно C, где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5, y=-2 и y равно кубическому корню из трех, которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Корень n-ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой формула, где n – натуральное число, большее единицы.

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида y равно x в степени a.

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции y равно x в степени a при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций y равно x – черная линия, y равно x в кубе – синяя линия, y равно x в пятой степени – красная линия, y равно x в седьмой степени – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции математическая формула, где формула и формула принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, формула.

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала формула.

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция математическая формула, где формула, формула. Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при формула.

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда формула.

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

Тригонометрические функции, их свойства и графики.

Все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) относятся к основным элементарным функциям. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Тригонометрическим функциям присуще понятие периодичности (повторяемости значений функции при различных значениях аргумента, отличных друг от друга на величину периода математическая формула, где Т - период), поэтому, в список свойств тригонометрических функций добавлен пункт «наименьший положительный период». Также для каждой тригонометрической функции мы укажем значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в ноль.

Теперь разберемся со всеми тригонометрическими функциями по-порядку.

Функция синус y = sin(x).

Изобразим график функции синус, его называют "синусоида".

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс) являются основным элементарным функциями. Часто из-за приставки "арк" обратные тригонометрические функции называют аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их графики и перечислим свойства.

Функция арксинус y = arcsin(x).

Изобразим график функции арксинус:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: