|
Понятие дискретных и непрерывных случайных величин
Случайные события
Пусть некоторый эксперимент, или, согласно терминологии, используемой в теории вероятностей, испытание, может быть, по крайней мере, теоретически, проведено в одних и тех же условиях неограниченное количество раз. Результатом каждого испытания является тот или иной его исход, называемый событием. Поскольку в теории вероятностей речь идет о таких испытаниях, исход которых не может быть однозначно предопределен, то соответствующие события называют случайными событиями. Например, случайным событием является выпадение цифры 2 при бросании игрального кубика, на гранях которого изображены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6, наличие (как, впрочем, и отсутствие) некоторого препарата в конкретной, наугад выбранной аптеке в данный момент времени. Иными словами, случайное событие — это такое событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти. Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т.д.
Некоторые виды событий
Определение. Событие называется достоверным в данном испытании, если в результате испытания оно обязательно происходит.
Например, достоверным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки аспирина.
Определение. Событие называется невозможным в данном испытании, если оно не может произойти в результате испытания.
Например, невозможным является событие, состоящее в извлечении наугад упаковки аспирина из ящика, в котором находятся только упаковки анальгина.
Строго говоря, как невозможное, так и достоверное события не являются случайными, поскольку их соответственно ненаступление и наступление предопределены условиями испытания.
Любое же из действительно случайных событий, т.е. событий, происходящих в результате испытания не наверняка, по мере возможности своего осуществления находится между событиями невозможными и достоверными.
Классическое определение вероятности случайного события
Под вероятностью случайного события в математике понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания).
Рассмотрим некоторую конечную полную группу равновозможных элементарных событий (исходов) т. е. совокупность всех единственно возможных, несовместных и вместе с тем равновозможных результатов некоторого испытания, причем пусть интересующее нас случайное событие A осуществляется тогда и только тогда, когда наступают некоторые из элементарных событий указанной полной группы. Пусть таких событий, благоприятствующих для события A, насчитывается m (естественно, m<n). Тогда вероятность события A определяют следующим образом:
Определение. Вероятностью Р(А) случайного события A называется отношение количества m элементарных событий, благоприятствующих событию A, к общему количеству элементарных событий n:
, (1)
Поскольку в общем случае 0<m<n, то из этого определения, называемого классическим определением вероятности случайного события, следует, что вероятность произвольного случайного события принадлежит отрезку , т.е.
0<P(A)<1, (2)
Пример 1. Найти вероятность того, что при извлечении наугад одной таблетки из коробки, в которой находятся 2 таблетки анальгина, 3 таблетки аспирина и 5 таблеток димидрола, извлеченная таблетка окажется таблеткой аспирина.
Решение. Поскольку общее количество элементарных событий (исходов) для данного испытания образует полную группу из n = 10 равновозможных событий (по общему количеству таблеток в коробке), из которых только m = 3 элементарных события (по количеству таблеток аспирина) являются благоприятствующими для интересующего нас события (обозначим это событие через A), по формуле (1) получим:
Случайные величины
Определение. Случайной величиной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений, причем до эксперимента невозможно предсказать, какое именно.
Случайными величинами являются, например, количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве и т. д.
Случайными величинами являются также температура больного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента и т. д.
Однако с математической точки зрения между такими случайными величинами, как, например, число посетителей аптеки в течение дня (обозначим эту случайную величину X1) и рост наугад выбранного студента из некоторой группы студентов (величина Х2), имеется принципиальное различие, а именно: для величины X1 можно перечислить все ее возможные значения (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), тогда как для величины Х2 этого сделать нельзя, поскольку эта величина в результате измерения может принять любое значение из отрезка, где
и — соответственно минимальный и максимальный рост студентов группы.
Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита — X, Y, Z и т. д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины x обозначают следующим образом: x1, x2, x3 и т. д.
Понятие дискретных и непрерывных случайных величин
Определение. Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т. е. такое множество, все элементы которого могут быть (по крайней мере, теоретически) пронумерованы и выписаны в соответствующей последовательности.
Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений представляет собой некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси.
Исходя из этих определений, такие из перечисленных выше случайных величин, как количество очков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на. дереве, являются дискретными случайными величинами, а такие, как температура больного в фиксированное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента, — непрерывными величинами.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|