Интерференция двух монохроматических волн

Рассмотрим идеализированный случай сложения двух монохроматических волн одинаковой частоты. Уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси X, имеет вид:

.

Если амплитуда и начальная фаза одинаковы во все моменты времени во всем пространстве, то волна называется однородной. Строго монохроматические волны никогда не могут быть точно реализованы в действительности и представляют идеализацию реальных волновых процессов. Условия применимости этой идеализации в каждой конкретной задаче требуют специального рассмотрения.

Пусть две плоские монохроматические волны одной частоты, накладываясь друг на друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления: и , где , .

Для сложения колебаний воспользуемся методом векторной диаграммы. Как видно из рис. 2.4, согласно теореме косинусов амплитуда результирующего колебания будет равна

.

Так как угол , то амплитуда результирующего колебания в данной точке определится выражением: , а интенсивность:

,

(2.4)

где .

Если , , то интенсивность максимальна: , если , то интенсивность минимальна: .

Таким образом, при наложении двух монохроматических волн происходит устойчивое во времени перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности. В тех точках пространства, для которых , результирующая интенсивность ; в точках, где , результирующая интенсивность .

Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивности обеих интерферирующих волн одинаковы: . Тогда в максимумах , в минимумах же . Для некогерентных волн при том же условии получается всюду одинаковая интенсивность .

Определим положения максимумов и минимумов интерференционной картины в пространстве, рассмотрев два одинаковых синфазных монохроматических точечных источника и , находящихся на расстоянии друг от друга (рис. 2.5). Каждый из источников излучает сферическую волну, при этом, если , то можно считать амплитуды обеих волн в точке одинаковыми и суммарная напряженность поля в этой точке запишется:

,

где , , и в случае распространения волн в разных средах. Интенсивность результирующего колебания имеет вид

,

(2.5)

где .

В оптике вводится понятие оптического пути. Для среды с постоянным показателем преломления оптический путь равен . Величина называется оптической разностью хода. Следовательно, разность фаз может быть выражена через оптическую разность хода :

,

(2.6)

где ; – длина волны в вакууме.

Таким образом, условия максимума и минимума определяются следующим образом:

, ,

(2.7)

, .

(2.8)

Если волны распространяются в средах с одинаковым показателем преломления, то поверхность равных фаз, соответствующих постоянной интенсивности складывающихся волн, определяется уравнением . На экране, параллельном линии источников , интерференционные полосы будут гиперболами. При этом в небольшой центральной части экрана интерференционная картина состоит из равноотстоящих почти параллельных светлых и темных полос. Найдем положение этих полос относительно точки на экране. Из рис. 2.5 видно, что

, , .

Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками должно быть значительно меньше расстояния до экрана , . Расстояние , в пределах которого наблюдаются интерференционные полосы, также должно быть значительно меньше , . При этих условиях можно положить . Тогда . Если оба луча распространяются в одной среде, то, умножив на показатель преломления этой среды , получим оптическую разность хода:

.

(2.9)

Подставляя это значение в условие для максимума интенсивности (2.7), получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях , равных

,

(2.10)

где – длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном. Подставив значение (2.9) в (2.8), получим координаты минимумов интенсивности

.

(2.11)

Расстояние между двумя соседними минимумами или двумя соседними максимумами будут одинаковыми и равными

.

(2.12)

Величина называется шириной интерференционной полосы. Из формулы (2.12) видно, что ширина полосы растет с уменьшением расстояния между источниками. При расстоянии между источниками , сравнимом с , ширина полосы будет порядка l, и отдельные интерференционные полосы для электромагнитных волн оптического диапазона совершенно неразличимы. Поэтому для того, чтобы интерференционная картина была достаточно отчетливой, необходимо соблюдение условия .

Так как разность фаз d пропорциональна оптической разности хода D, то в соответствии с (2.6) d растет пропорционально . Следовательно, как видно из (2.5), интенсивность изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса. Для монохроматического света зависимость I от х имеет вид, представленный на рис. 2.6.

Отметим, что поскольку среднее значение , то среднее значение интенсивности на экране в интерференционной картине согласно формуле (2.5) равно удвоенной интенсивности от одного источника. Это значит, что при интерференции происходит только перераспределение энергии в пространстве, а полный поток энергии остается неизменным.

В действительности это условие приближенное и выполняется тем точнее, чем больше отношение . В противном случае, при , то есть когда расстояние между источниками много меньше длины волны, во всех точках пространства от обоих источников происходит сложение колебаний с практически одинаковыми фазами. Это значит, что повсюду интенсивности результирующих колебаний, а вместе с тем и полный поток энергии почти в четыре раза больше, чем при одном источнике. Однако это не противоречит закону сохранения энергии, так как близко лежащие источники, взаимодействуя через создаваемое ими поле излучения, вместе излучают больше энергии, чем в том случае, когда они находятся далеко друг от друга. Так для радиоволн, излучаемых близко расположенными антеннами, увеличение полного потока энергии происходит за счет работы генератора, поддерживающего неизменные амплитуды колебаний в антеннах.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: