Признаки существования точек экстремума.

В точках экстремума функция должна переходить от возрастания к убыванию или от убывания к возрастанию. А это значит, что производная при переходе через эту точку должна поменять свой знак. Это возможно только при переходе производной через ноль или через точку, в которой производная не существует.

Вывод: если или не существует, то функция в точке может иметь экстремум.

Это условие, являясь необходимым, не является достаточным. Например, для функции

точка не является точкой экстремума, хотя производная в этой точке

Почему? Потому что производная при переходе через эту точку должна поменять свой знак, а у нас функция остаётся возрастающей.

Рис. 3

Итак, получаем теорему, в которой сформулированы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума.

Теорема 5. Чтобы точка , была точкой экстремума функции , необходимо и достаточно, чтобы

а) или не существовала,

б) при переходе через точку производная должна менять свой знак.

Эта теорема даёт правило нахождения точек экстремума.

Правило исследования функции на экстремум.

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки функции, т.е. значения аргумента , при которых производная или не существует.

3. Определить знак производной , в окрестности критических точек

а) Если при переходе через точку меняет знак с «+» на « - », то - точка максимума;

б) если меняет знак с « - » на «+», то - точка минимума;

в) если знак не меняет, то точкой экстремума не является.

4. Вычислить значения функции в точках экстремума и .

При необходимости построить схематически график.

П р и м е р. Исследовать функцию на экстремум и построить схематически график.

Решение. 1. Найдём производную функции: .

2. Найдём критические точки:

, если или .

или

3. Отметим полученные значения на числовой прямой и определим знак производной в каждом из полученных интервалов.

+ - +

4. Вычислим значения функции в точках экстремума.

. Получаем точку .

. Получили точку .

5. По полученным точкам строим график.

Второе правило исследования функции на экстремум.

Часто бывает рациональнее исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной. Рассмотрим сущность этого метода.

Знак первой производной данной функции характеризует возрастание и убывание функции. Точно так же знак второй производной характеризует возрастание и убывание первой производной.

Теперь выясним, как изменяется первая производная в точках экстремума и близких к ним точках с увеличением аргумента. Первая производная при переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «-». Иными словами, она от положительных значений переходит через ноль к отрицательным, т. е. убывает, а значит, её производная должна быть отрицательна. Итак, в точке максимума данной функции первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна.

Аналогично можно показать, что в точке минимума функции первая производная равна нулю, а вторая отрицательна.

Отсюда вытекаетправило исследования функции на экстремум с помощью второй производной.

1. Найти первую производную .

2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых

3. Найти вторую производную .

Во вторую производную подставить поочерёдно все критические значения

;

если то - точка минимума,

если то - точка максимума,

если то следует обратиться к первому правилу.

Вычислить значения функции в точках экстремума и построить схематически график.

П р и м е р. Исследовать функцию на экстремум по второму правилу

Решение. 1. Найдём первую производную

2. Найдём критические точки

, если ,

,

.

3. Найдём вторую производную

.

4. Определим знак второй производной в каждой критической точке.

, значит – точка максимума,

, значит - точка минимума,

, значит

5. Вычислим значения функции в точках экстремума.

Точка

. Точка .

Точка

Построим схематически график.

y

- x

Вопросы для самопроверки

1. Что называется точкой максимума функции? Проиллюстрируйте на рисунке.

2. Что называется точкой минимума функции? Покажите, как это выглядит на рисунке.

3. Что такое максимум и минимум функции?

4. Сформулируйте необходимое и достаточное условия существования точек экстремума.

5. Перечислите порядок нахождения точек экстремума по первой производной.

6. Как исследовать функцию на экстремум по второй производной?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Исследуйте функции на монотонность и точки экстремума. Постройте график.

1.

2.

3.

4.

5.

6. ;

7.

8.

9.

2. Исследуйте функцию на экстремум по второму правилу.

1.

2.

3. ;

4.

Задания для самостоятельного решения

1. Исследуйте функцию на монотонность и точки экстремума по первому правилу.

1.

2.

3.

4. ;

5. ;

6.

7. ;

8.

2. Исследуйте функцию на экстремум по второму правилу.

1.

2.

3. ;

5. .

Уроки № 14-15

Т е м а.ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

1 2 34

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.