Признаки возрастания и убывания функции.

Теорема 2 (признак убывания функции). Если дифференцируемая функция

Обратные теоремы также справедливы.

Эти утверждения можно пояснить геометрически.

Если функция возрастает, то и , а это возможно только при

. Следовательно, угол наклона касательной – острый.

Если функция убывает, то и , а это возможно только при . Следовательно, угол наклона касательной – тупой.

Такие рассуждения приводят к выводу: на промежутке монотонности (возрастания или убывания) производная свой знак не меняет.

Изменение характера монотонности происходит при изменении знака производной . А это возможно лишь при переходе производной через ноль или через точку, в которой производная не существует (точка .

Из этих рассуждений следует правило нахождения промежутков монотонности.

Правило исследования функции на монотонность

П р и м е р. Найти промежутки монотонности функции .

Решение. 1) Найдём производную функции

2)Найдём критические точки

, если 3 или (разделили на 3).

Решив уравнение, получим и .

3) Отметим критические точки на числовой прямой и определим знак производной

-1 2

4) Вывод: функция возрастает при

функция убывает при

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте признак (прямой и обратный) возрастания функции.

2. Сформулируйте признак (прямой и обратный) убывания функции.

3. Как связаны монотонность функции и угол наклона касательной к графику этой функции?

4. Какие точки называются критическими для функции?

5. Сформулируйте правило исследования функции на монотонность.

Упражнения

Исследовать функции на монотонность:

1. 2.

3. 4.

5. ; 6.

Урок № 13

Тема урока:ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ ПО ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.

Определение точек экстремума.

Рассмотрим график функции , изображённый на рисунке.

Рис.1

В точках функция переходит от возрастания к убыванию и в этих точках функция принимает наибольшие значения по сравнению с рядом лежащими точками.

В точках функция переходит от убывания к возрастанию и в этих точках функция принимает наименьшие значения по сравнению с рядом лежащими точками.

Вот такие точки функции и называются точками максимума и минимума.

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если для всех взятых из некоторой окрестности точки , выполняется условие

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если для всех взятых из некоторой окрестности точки , выполняется условие

Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумомиминимумом функции.

Максимум и минимум функции объединяют названием экстремумы функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума (или экстремальными точками). Рис. 2

Надо отметить, что максимум функции не всегда является наибольшим значением во всей области определения функции, он является наибольшим лишь по сравнению со значениями функции, взятыми в некоторой окрестности этой точки.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: