Оказывается, что число, которое ближе всего (в смысле критерия наименьших квадратов) к заданной совокупности значений, является средней арифметической этих значений.

Числовые характеристики, используемые для описания моделей.

Числовые характеристики рядов распределения

Для статистического распределения вводится среднее арифметическое наблюдённых значений

Если отдельные варианты повторяются

- частота вариантов . Формула даёт значение взвешенной средней арифметической, и числа называют весами вариантов.

Между математическим ожиданием и средним арифметическим существует соответствие, аналогичное соответствию между частотой и вероятностью. При увеличении числа опытов среднее арифметическое полученных при наблюдении значений случайной величины приближается к её математическому ожиданию.

Статистическая дисперсия

(в теории вероятностей )

В статистике для характеристики колебаний пользуются величиной, которая называется – абсолютным отклонением

Чаще всего рассеяние характеризуют средним квадратическим отклонением

Для рядов среднее квадратическое отклонение определяется как взвешенный показатель

Значения математического ожидания и дисперсии недостаточно для более полной характеристики случайного распределения. Например, может оказаться, что математические ожидания и дисперсии совпадают, а законы распределения, тем не менее, различны. В этом случае говорят о различной асимметрии. Асимметрию характеризуют при помощи третьего центрального момента

где =3. Для симметричных распределений все нечётные центральные моменты равны нулю. Поэтому естественно принять в качестве характеристики асимметрии, какой либо из них. Обычно используется третий. Для того чтобы характеристика была безразмерной, делят на среднее квадратическое отклонение в третьей степени

Характеристику называют коэффициентом асимметрии. Асимметрия может быть положительной и отрицательной .

Кривые распределения могут иметь разную крутизну. Для характеристики островершинности или плосковершинности применяют четвёртый центральный момент. С его помощью определяется эксцесс распределения

Для наиболее распространенного в природе нормального распределения эксцесс принимается равным нулю. Все другие распределения характеризуются определённым эксцессом по отношению к нормальному. Величина для нормального закона равна 3. Поэтому в общей формуле, в правой части вычитается 3. Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным.

Свойства статистических параметров

1. Если все частоты (веса) умножить на одно и тоже число, то и не изменяются

Так если в формулах

; и ;

все веса умножить на , то

= =

и аналогично для .

Отсюда следует, что вычисляя и , мы можем воспользоваться относительными частотами вместо абсолютных частот.

2.Если варианты признака умножить на одно и тоже число, то умножится на одно и тоже число, а умножится на модуль этого числа.

Доказательство. Рассмотрим новы варианты , где произвольное число(+ или-). Получим новую ср.арифм.

= = =

И новое среднее квадратическое отклонение

= = = =

3. Если по всем вариантам прибавить одно и тоже число , то увеличится на , а не изменится .

= + .

но

,

Следовательно

Далее получаем

= = =

Дисперсия равна среднему квадрату минус квадрат средней

И для взвешенных показателей

Для первой формулы имеем

- +

вынесем за знак суммы, и учитывая, что , получим

- + = =

Аналогично доказывается и для взвешенных показателей.

Свойства средней арифметической

Свойство1.

Сумма отклонений от средней арифметической равна нулю.

Запишем

= -

но

= , так как и

=

следовательно

= - .

Свойство2.

Сумма квадратов отклонений от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов отклонений от любого другого числа.

Обозначим через сумму квадратов отклонений вариантов от числа

и найдем значение числа , для которого функция минимальна.

(называется - критерий наименьших квадратов)

Необходимое условие минимума

Дифференцируя, имеем

, или

тогда , , откуда

Заметим, что строго говоря , кроме условия для удовлетворения критерия наименьших квадратов необходимо иметь положительный знак второй производной

Это условие, очевидно удовлетворяется, так как

Смысл критерия наименьших квадратов заключается в следующем. Отыскиваем число . Которое ближе всего к заданной совокупности значений . Близость к измеряется квадратом отклонения . А поскольку есть целый ряд значений , то естественно потребовать, чтобы сумма квадратов отклонения была наименьшей.

Оказывается, что число, которое ближе всего (в смысле критерия наименьших квадратов) к заданной совокупности значений, является средней арифметической этих значений.

Минимальное свойство характеризует связь между средней арифметической и средним квадратическим отклонением.

Среднее квадратическое отклонение, вычисленное от средней арифметической, оказывается меньше, чем вычисленное от какой либо другой величины (например медианы или моды)

если .

Наконец, заметим, что начальные и центральные моменты любых порядков для статистического распределения вычисляются по формулам

При увеличении объёма экспериментальных данных все статистические характеристики, очевидно, будут сходиться по вероятностям к соответствующим математическим характеристикам. Любая статистическая характеристика содержит элемент случайности. При большом количестве наблюдений эта случайность сглаживается.

Увеличения числа опытов не всегда возможно, поэтому приходится применять косвенные методы. Задача подбора теоретической кривой распределения носит название задачи выравнивания рядов распределения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: