Сделай Сам Свою Работу на 5

Тема лекции: Числовые характеристики вариационного ряда





1.Средние величины.

2. Показатели вариации.

3. Начальные и центральные моменты

 

Вариационный ряд содержит достаточно полную информацию об изменчивости признака. Однако большое количество числовых данных усложняет их использование. На практике достаточно знать ряд числовых характеристик, аналогичных тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин.

1.Средние величины. Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объемом п.

2.5. Определение. Выборочной средней (средней выборочной совокупности) называют величину `хв=(х12+…+хп)/п, если все значения х12,…,хп различны (несгруппированный вариационный ряд), если значения признака имеют частоты пi и S пi= п(сгруппированный вариационный ряд), то

в=(х1× п12× п2+…+хk× пk)/п

1.2. Свойства средней выборочной.

- средняя выборочная постоянной равна самой постоянной;

- если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и тоже число раз, то средняя выборочная увеличится (уменьшится) в во столько же раз;

- если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя выборочная увеличится (уменьшится) на то же число;



Кроме рассмотренных средних величин, называемых аналитическими, в статистическом анализе применяют структурные или порядковые, такие как мода и медиана.

1.3. Определение. Медианой Ме вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух средних вариантов.

Для интервального вариационного ряда медиана находится по формуле

хМе(min) – нижняя граница медианного интервала;

h – шаг интервала

ni – частота

wнак.Ме-1 – накопленная частота интервалов, предшествующих медианному

пМе – частота медианного интервала.

1.4. Определение Модой Мо вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Для интервального вариационного ряда мода находится по формуле

 

xMo(min) – нижняя граница модального интервала;



nMo – частота модального интервала;

nMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

nMo+1 - частота интервала, следующего за модальным;

h – шаг модального интервала.

2.4. Пример 1. Даны результаты обследования 25 единиц выборки 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. Найти величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности, найти моду, медиану.

Решение:

2.. Составим статистическое распределение частот:

хi
пi

`хГ»`хВ =(4×1+6×6+7×3+8×3+9×7+10×3+11×2):25=8

Мо=9

Ме=8.

Пример 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в фермерском хозяйстве на площади 1000га была определена урожайность на 100га. Результаты выборки представлено распределением:

Урожайность ц/га 23-25 25-27 27-29 29-31 31-33 33-35 35-37
Середина интервала хi 24 26 28 30 32 34 36
Площадь га

 

`хГ»`хВ =(24×3+26×10+28×6+30×16+32×15+34×30+36×20):100=32(ц/га)

 

Ме=29+(0,5×100-78)×2:30 » 27,13

Мо=33+2×(30-15):((30-15)+(30-20))=34,2

2. Выборочная дисперсия.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х выборочной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят характеристику – выборочную дисперсию.

2.1. Определение. Выборочной дисперсией Dв называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Если все значения х12,…,хп признака выборки объема п различны, то

.

Если же значения х12,…,хk имеют соответственно частоты п1,п2,…,пk, причем п1+п2+…+пk= п, то

.



2.2 Основные свойства дисперсии:

- Дисперсия постоянной равна нулю.

- Если все варианты увеличить(уменьшить) в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличится(уменьшится) в k2 раз.

- Если все варианты увеличить(уменьшить) на одно и то же число , то дисперсия не изменится.

- Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадратов вариантов и квадратом математического ожидания D=`x2 – (`x)2

 

2.3. Определение. Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии

.

 

Пример 1. Даны результаты обследования 25 единиц выборки 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. Найти величину, которую следует принять за среднюю выборочной совокупности, найти величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности.

Решение:

Составим расчетную таблицу: `хв=8

хi пi хi-`хв i-`хв)2 i-`хв)2× пi
-4
-2
-1
S    

 

s » 1,78

Пример 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в фермерском хозяйстве на площади 1000га была определена урожайность на 100га.Найти среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности.

 

Решение:

 

Составим расчетную таблицу: `хв=32

интервалы середина интервалов пi хi-`хв i-`хв)2 i-`хв)2× пi
23-25 -8
25-27 -6
27-29 -4
29-31 -2
31-33
33-35
35-37
S      

 

s »3,39

2.5. Определение. Коэффициентом вариации n называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней % % =3,39/32×100% »10,59 что указывает на однородность данного признака

 

Подвести итог лекции.

Рассмотреть данные вопросы в учебнике Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика» глава 8, пункты 8.2, 8.3.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.