Тема лекции: Числовые характеристики вариационного ряда
1.Средние величины.
2. Показатели вариации.
3. Начальные и центральные моменты
Вариационный ряд содержит достаточно полную информацию об изменчивости признака. Однако большое количество числовых данных усложняет их использование. На практике достаточно знать ряд числовых характеристик, аналогичных тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин.
1.Средние величины. Выборочная средняя.
Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объемом п.
2.5. Определение. Выборочной средней (средней выборочной совокупности) называют величину `хв=(х1+х2+…+хп)/п, если все значения х1,х2,…,хп различны (несгруппированный вариационный ряд), если значения признака имеют частоты пi и S пi= п(сгруппированный вариационный ряд), то
`хв=(х1× п1+х2× п2+…+хk× пk)/п
1.2. Свойства средней выборочной.
- средняя выборочная постоянной равна самой постоянной;
- если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и тоже число раз, то средняя выборочная увеличится (уменьшится) в во столько же раз;
- если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя выборочная увеличится (уменьшится) на то же число;
Кроме рассмотренных средних величин, называемых аналитическими, в статистическом анализе применяют структурные или порядковые, такие как мода и медиана.
1.3. Определение. Медианой Ме вариационного ряда называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.
Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух средних вариантов.
Для интервального вариационного ряда медиана находится по формуле
хМе(min) – нижняя граница медианного интервала;
h – шаг интервала
ni – частота
wнак.Ме-1 – накопленная частота интервалов, предшествующих медианному
пМе – частота медианного интервала.
1.4. Определение Модой Мо вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.
Для интервального вариационного ряда мода находится по формуле
xMo(min) – нижняя граница модального интервала;
nMo – частота модального интервала;
nMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
nMo+1 - частота интервала, следующего за модальным;
h – шаг модального интервала.
2.4. Пример 1. Даны результаты обследования 25 единиц выборки 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. Найти величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности, найти моду, медиану.
Решение:
2.. Составим статистическое распределение частот:
`хГ»`хВ =(4×1+6×6+7×3+8×3+9×7+10×3+11×2):25=8
Мо=9
Ме=8.
Пример 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в фермерском хозяйстве на площади 1000га была определена урожайность на 100га. Результаты выборки представлено распределением:
Урожайность ц/га
| 23-25
| 25-27
| 27-29
| 29-31
| 31-33
| 33-35
| 35-37
| Середина интервала хi
| 24
| 26
| 28
| 30
| 32
| 34
| 36
| Площадь га
|
|
|
|
|
|
|
|
`хГ»`хВ =(24×3+26×10+28×6+30×16+32×15+34×30+36×20):100=32(ц/га)
Ме=29+(0,5×100-78)×2:30 » 27,13
Мо=33+2×(30-15):((30-15)+(30-20))=34,2
2. Выборочная дисперсия.
Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Х выборочной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят характеристику – выборочную дисперсию.
2.1. Определение. Выборочной дисперсией Dв называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения.
Если все значения х1,х2,…,хп признака выборки объема п различны, то
.
Если же значения х1,х2,…,хk имеют соответственно частоты п1,п2,…,пk, причем п1+п2+…+пk= п, то
.
2.2 Основные свойства дисперсии:
- Дисперсия постоянной равна нулю.
- Если все варианты увеличить(уменьшить) в одно и то же число k раз, то дисперсия увеличится(уменьшится) в k2 раз.
- Если все варианты увеличить(уменьшить) на одно и то же число , то дисперсия не изменится.
- Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадратов вариантов и квадратом математического ожидания D=`x2 – (`x)2
2.3. Определение. Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии
.
Пример 1. Даны результаты обследования 25 единиц выборки 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. Найти величину, которую следует принять за среднюю выборочной совокупности, найти величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности.
Решение:
Составим расчетную таблицу: `хв=8
хi
| пi
| хi-`хв
| (хi-`хв)2
| (хi-`хв)2× пi
|
|
| -4
|
|
|
|
| -2
|
|
|
|
| -1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| S
|
|
|
|
|
s » 1,78
Пример 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в фермерском хозяйстве на площади 1000га была определена урожайность на 100га.Найти среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности.
Решение:
Составим расчетную таблицу: `хв=32
интервалы
| середина
интервалов
| пi
| хi-`хв
| (хi-`хв)2
| (хi-`хв)2× пi
| 23-25
|
|
| -8
|
|
| 25-27
|
|
| -6
|
|
| 27-29
|
|
| -4
|
|
| 29-31
|
|
| -2
|
|
| 31-33
|
|
|
|
|
| 33-35
|
|
|
|
|
| 35-37
|
|
|
|
|
| S
|
|
|
|
|
|
s »3,39
2.5. Определение. Коэффициентом вариации n называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней % % =3,39/32×100% »10,59 что указывает на однородность данного признака
Подвести итог лекции.
Рассмотреть данные вопросы в учебнике Н.Ш. Кремер «Теория вероятностей и математическая статистика» глава 8, пункты 8.2, 8.3.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|