Второй признак сравнения (предельный)

Числовые ряды.

Определение: Числовым рядом называется формально записанная сумма бесконечного числа членов числовой последовательности.

где общий член ряда.

Сумму конечного числа первых членов ряда называют частичной суммой ряда:

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряд называют сходящимся. В этом случае число S называется суммой ряда:

Если или не существует, ряд называют расходящимся.

Примеры: 1) расходится, т.к. при неограниченно возрастают.

2) расходится, т.к. а предела у нет.

3) – сумма членов бесконечной геометрической прогрессии,

при

при равен если и не существует предела, если

при получаем ряд 1+1+1+1+…, частичные суммы неограниченно растут; когда при получаем расходящийся ряд рассмотренный в примере 2.

Таким образом, ряд сходится, если и расходится, если

4) сходится, т.к. при

Свойства сходящихся рядов:

1. Если то ряд

2. Если то

3. – остаток ряда

- частичная (конечная) сумма; сходимость ряда зависит от сходимости :

а) если какой то остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится;

б) если ряд сходится, то любой его остаток сходится.

Следствие: Конечное число членов ряда не влияет на сходимость ряда, т.е. если есть сходящийся ряд, то при отбрасывании или добавлении конечного числа слагаемых получим сходящийся ряд. Если же исходный ряд расходился, то при отбрасывании или добавлении конечного числа слагаемых получим расходящийся ряд.

Необходимое условие сходимости ряда

Теорема: Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.

Доказательство:

Расходимость гармонического ряда:

Гармонический ряд: . Необходимое условие сходимости выполнено, однако Каждая из скобок превосходит потому частичные суммы неограниченно растут т.е. ряд расходится.

Стало быть, если сходится, то но из того, что не следует сходимость ряда.

Следствие: Если то ряд расходится.

Примеры: 1) расходится, т.к.

2) расходится, т.к. (можно применить правило Лопиталя, получим)

Ряд называют знакоположительным, если все его члены больше нуля, и знакоотрицательным, если все члены меньше нуля.

Знакоположительные и знакоотрицательные ряды называют знакопостоянными рядами. Если среди членов ряда конечное число членов имеет один знак, например, минус, а остальные члены другой знак, например, плюс, то отбросив частичную сумму, содержащую все слагаемые со знаком минус получим остаток ряда с положительными членами, т.к. остаток ряда определяет, сходится или расходится ряд, ряды с конечным числом членов одного знака можно рассматривать как знакопостоянные.

Знакопеременные ряды – ряды, содержащие бесконечное число как положительных, так и отрицательных слагаемых.

В знакопостоянных рядах последовательность частичных сумм монотонна, поэтому для сходимости ряда достаточна ограниченность последовательности частичных сумм.

Достаточные признаки сходимости для знакопостоянных рядов

Не ограничивая общности (см. свойство 1 для сходящихся рядов), будем формулировать признаки для знакопостоянных рядов.

Первый признак сравнения:

Пусть для членов рядов и выполнено условие: (вообще говоря, для всех начиная с какого-то номера, см. следствие из свойства 3 сходимости рядов), тогда:

а) если ряд с большими членами сходится, то и ряд с меньшими членами сходится;

б) если ряд с меньшими членами расходится, то и ряд с большими членами расходится.

Доказательство:

а) Если ряд сходится, то его частичные суммы возрастают и ограничены но частичные суммы ряда возрастают и не превосходят частичных сумм ряда , т.е. тоже ограничены, поэтому ряд сходится.

б) Если расходится, то его возрастающие частичные суммы должны стремиться в тогда и частичные суммы ряда неограниченно возрастают.

Теорема доказана.

Примеры:

1) расходится т.к. , а - гармонический расходящийся ряд;

2) сходится, т.к. а ряд сходится (см. пример 4) в начале лекции).

Второй признак сравнения (предельный)

Даны два ряда: и

Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения общих членов этих рядов: то ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, при этом говорят, что члены у этих рядов одинакового порядка.

Пример:

сходится, т.к. его можно сравнить со сходящимся рядом

Признак Даламбера

Если существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему: , то если ряд расходится, если ряд сходится, если нужны дополнительные исследования сходимости ряда.

Примеры: 1) сходится, т.к.

2) расходится, т.к.

3) Гармонический ряд расходится, а

4) сходится, а

Замечание: признак Даламбера удобен, когда члены ряда содержат показательную функцию или n-факториал. Если член ряда есть дробно-степенная функция, признак Даламбера не решает вопрос о поведении ряда.

Интегральный признак сходимости рядов:

Ряд и (при на одновременно сходится или расходится.

Этот признак может быть использован для вывода о сходимости рядов при ряд сходится, ряд расходится. Поведение соответствующих интегралов рассмотрено в теме «несобственные интегралы».

Ряды знакопостоянные сходятся, если их члены достаточно быстро стремятся к нулю.

Знакопеременные ряды могут сходиться не благодаря быстрому стремлению членов ряда к нулю, а из-за того, что последовательность частных сумм не является монотонной.

Если ряд сходится, и ряд из модулей членов ряда тоже сходится, то ряд называют абсолютно сходящимся.

Если ряд сходится, а ряд из модулей членов ряда расходится, то ряд называют условно сходящимся.

Условно сходиться могут только знакопеременные ряды.

Теорема: Если ряд из модулей членов ряда сходится, то и сам ряд сходится.

В доказательстве используют первый признак сравнения.

Из знакопеременных рядов рассмотрим знакочередующиеся ряды, т.е. такие ряды, у которых любые два соседних члена имеют разные знаки. Для таких рядов есть достаточное условие сходимости.

Теорема Лейбница

Если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда убывают по абсолютной величине . 2) предел общего члена равен нулю , то ряд сходится, и модуль суммы этого ряда не превосходит модуля первого члена.

Доказательство:

Рассмотрим частичные суммы с четными номерами: разности во всех скобках неотрицательны, поэтому – возрастающая последовательность. С другой стороны, поэтому , т.к. все разности в скобках неотрицательны. Ограниченная возрастающая последовательность имеет конечный предел, т.е. причем

Рассмотрим предел последовательности частичных сумм с нечетными номерами:

т.е. и частичные суммы с нечетными номерами имеют тот же предел, т.е. ряд сходится, а т.к. и их предел не превосходит по абсолютной величине модуля первого члена ряда.

Пример: Этот ряд не является абсолютно сходящимся, т.к. - гармонический ряд. Однако, условия теоремы Лейбница выполняются: 1) и поэтому ряд сходится (сходимость условная)

Замечание: Если условие 1) выполняется, начиная с какого-то номера в последовательности членов, то вывод о сходимости ряда сохраняется, а оценка модуля суммы ряда модулем первого члена ряда не имеет места.

Следствие: если остаток ряда удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то при замене ряда частичной суммой погрешность не превзойдет абсолютной величины первого отброшенного члена.

Замечание: Абсолютно сходящиеся ряды сходятся к одной и той же сумме, как бы произвольно не переставлены были члены ряда, т.е. ведут себя так же, как конечные суммы.

Условно сходящийся ряд перестановкой членов ряда можно заставить сходится к любому наперед заданному числу или расходиться.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: