Сделай Сам Свою Работу на 5

Ресурсы и ограничения задачи оптимального раскроя





Кафедра технологии деревообрабатывающих производств

Контрольная работа

По дисциплине : «Моделирование и оптимизация процессов»

На тему: «Построение и анализ моделей линейных оптимизационных задач в производственных системах деревообработки»

№ зачетной книжки___________________ факультет ________________________

Курс ________________ группа _______________ , заочное отделение

Преподаватель ____________________________________________________

Студент ________________________________________________________

 

Санкт – Петербург

Г

 

ВАРИАНТ 24. ЗАДАЧА №4

 

 

Плиты одного из стандартных форматов подлежат раскрою на заготовки трех типоразмеров. Нужно осуществить две схемы раскроя на двух имеющихся видах оборудования – станках №1 и № 2. Для раскроя плиты на станке №1 по первой карте раскроя требуется 5,0 мин., по второй карте – 3,0 мин., а на станке №2 по тем же картам раскроя требуется 3,9 мин.и 3,5 мин. соответственно. Суммарное время работы станка №1 не должно превышать 280 мин., а станка №2 -250 мин..

По первому варианту раскроя можно получить 10 заготовки первого типоразмера,12 заготовок второго типоразмера и 2 заготовки третьего типоразмера. Вторая схема раскроя позволяет разместить 9, 5 и 5 заготовок типоразмеров №1, №2 и №3 соответственно. По первой схеме раскроя площадь отходов составляет 2200 кв.мм , по второй – 3800 мм. Требуется получить не менее 400 заготовок первого, не менее 300 заготовок второго и не менее 100 заготовок третьего типоразмеров.



Решая задачу, следует выяснить, сколько плит надо раскроить по каждой из рассмотренных карт раскроя при выполнении планового задания на имеющемся оборудовании, при этом суммарное количество отходов должно быть минимальным.

 

 

Исходные данные задачи

Раскрой плит Количество заготовок, шт. типоразмера
№ карты отходы, мм. Нома времени, мин. на станке
№1 №2 №1 №2 №3
5,0 3,9
3,0 3,5
Фонд времени, мин. - - -
План выпуска заготовок, шт.
               

 

Представим через Х1 количество плит, раскраиваемых по первой схеме, через Х2 – по второй схеме раскроя.



Выражение для суммарного количества отходов имеет вид

 

W = 2200Х1 + 3800Х2 min (1.1)

 

и представляет минимизируемую целевую функцию задачи линейного программирования.

 

Выражение для ограничений на требуемое количество заготовок:

 

10 Х1 + 9 Х2 > 400 (1)

 

12 Х1 + 5 Х2 > 300 (2)

 

2 Х1 + 5 Х2 > 100 (3)

 

Выражение для ограничений по длительности работы станков №1 и №2 :

 

5,0 Х1 + 3,0 X2 < 280 (4)

 

3.9 X1 + 3,5 X2 < 250 (5)

 

Следует учесть естественные ограничения на неотрицательность переменных :

 

Х1 > 0 (6)

 

X2 > 0 (7) (1.2)

 

Совокупность отношений (1,1) – (1,2) представляет собой математическую модель данной задачи.

 

Ресурсы и ограничения задачи оптимального раскроя

.

 

№ ресурса или ограничения Наименование ресурса или ограничения ограничения
Заготовки первого типоразмера 10 Х1 + 9 Х2 > 400
Заготовки второго типоразмера 12 Х1 + 5 Х2 > 300
Заготовки третьего типоразмера 2 Х1 + 5 Х2 > 100
Время работы станка № 1 5,0 Х1 + 3,0 X2 < 280
Время работы станка № 2 3.9 X1 + 3,5 X2 < 250
Неотрицательность Х1 Х1 > 0
Неотрицательность Х2 X2 > 0

 

Графический метод является одним их способов решения задачи линейного программирования в том случае, когда модель содержит только две переменные. Для трех переменных графическое решение задачи становится менее наглядным, а при большем числе переменных – невозможным.

Построим область допустимых решений, в которой одновременно удовлетворяются все ограничения модели.



Область допустимых значений, определяемая ограничением на требуемое количество заготовок первого типоразмера, находятся заменой в ограничении знака неравенства на знак равенства:

 

10 Х1 + 9 Х2 = 400 шт.

 

И нахождением точек пересечения прямой линии (1) с осями координат

 

при Х1 = 0 Х2 = 400/9 = 44,4 шт.

при Х2 = 0 Х1 = 400/10 = 40 шт.

 

Область, для которой выполняется ограничение в виде неравенства, указывается стрелкой, направленной в сторону допустимых значений переменных. Аналогично строим области допустимых значений и для других ограничений:

12 Х1 + 5 Х2 = 300 шт.

 

при Х1 = 0 Х2 = 300/5 = 60 шт.

при Х2 = 0 Х1 = 300/12 = 25 шт.

 

 

2 Х1 + 5 Х2 = 100 шт.

 

 

при Х1 = 0 Х2 = 100/5 = 20шт.

при Х2 = 0 Х1 = 100/ 2 = 50 шт.

 

 

5,0 Х1 + 3,0 X2 = 280 шт.

 

при Х1 = 0 Х2 = 280/3,0 = 93,3 шт.

при Х2 = 0 Х1 = 280/5,0 = 56 шт.

 

 

3.9 X1 + 3,5 X2 = 250 шт.

 

при Х1 = 0 Х2 = 250/3.5 = 71,42шт.

при Х2 = 0 Х1 = 250/3,9 = 64,1шт.

 

 

Х1 = 0

 

Х2 = 0

 

Рис.1

 

Таким образом, построена область, внутри и на границах которой выполняются все ограничения.

Для нахождения оптимального решения в задачах минимизации выясняется направление убывания, а в задачах максимизации – возрастания целевой функции.

Зададимся координатами двух произвольно выбранных, принадлежащих области допустимых решений точек Р1 (30; 30) и Р2 (20; 20). Тогда значения целевой функции в точках

Р1 : W1 = 2200X1 + 3800X2 = 2200*30 + 3800*30 = 180 000мм ,

 

P2 : W2 = 2200X1 + 3800X2 = 2200*20 + 3800*20 = 120 000 мм

 

 

,

Рис.2

 

Построив прямые W1 и W2 (рис. 2), определим направление убывания целевой функции.

Чтобы найти оптимальное решение, следует перемещать прямую (W), характеризующую суммарные отходы, параллельно самой себе по направлению к началу координат, пока она не сместится к точке D , как показано на рис. 2. найденная точка является оптимальной, поскольку дальнейшее смещение прямой W* будет приводить к попаданию в область недопустимых решений.

Координаты оптимальной точки D можно определить графически по рис. 2 и аналитически как точки пересечения прямых 1 и 3, для чего необходимо решить систему уравнений:

 

10Х1+ 9Х2 = 400

2Х1 + 5Х2 = 100

 

Решив систему, получаем Х1 = 34,375 шт., Х2 = 6,25 шт. тогда оптимальное решение целевой функции будет равно:

 

 

D : W1 = 2200X1 + 3800X2 = 2200*34,375 + 3800* 6,25 =99 375 мм2.

W* = 2200X1 + 3800X2 = 2200*35+ 3800* 7 =103 600 мм2.

Исследование влияния возможных изменений параметров модели на оптимальное решение называется анализом модели на чувствительность. Ограничения линейной оптимизации модели могут быть активными и пассивными. Прямая, представляющая активное ограничение, проходит через оптимальную точку. В противном случае соответствующее ограничение является пассивным. Для задачи оптимального раскроя активными являются только те ограничения, которые определяют требуемое количество заготовок первого и третьего типоразмеров(прямые (1) и (3) на рис 1).

Ресурсы 1 и 3 являются дефицитными, т.к. связанные с ними ограничения являются активными. А ресурсы 2,4,5 – недефицитными, поскольку связанные с ним ограничения пассивные.

 

Для того чтобы выяснить, изменение плана выпуска заготовок какого типоразмера приведет к уменьшению суммарных отходов, нужно определить, какой из исследуемых ресурсов является дефицитным. Поскольку план выпуска заготовок первого типоразмера является дефицитным ресурсом, то для уменьшения суммарных отходов можно корректировать план выпуска заготовок данного типоразмера. Изменение требуемого количества заготовок второго типоразмера к улучшению оптимального решения не приведет.

 

 

 

Необходимо выяснить, насколько возможно уменьшение плана выпуска заготовок первого типоразмера с целью уменьшения суммарных отходов . В графическом решении видно, что при уменьшении запаса первого ресурса, соответствующая ему прямая перемещается к началу координат параллельно самой себе.

Объем ресурса на следует 1 не следует уменьшать ниже того предела, когда соответствующее ему ограничение (1) станет избыточным. Этот предельный уровень определяется нахождением координат точки G как точки пересечения прямых (2) и (3), т.е решением уравнения

 

12Х1+ 5Х2 = 300

2Х1 + 5Х2 =100

 

Х1 = 20; Х2 =12

 

Подставив полученное решение системы уравнений в левую часть ограничений (1), определим предельно допустимый запас ресурса 1, равный 308шт. Возможно уменьшение плана выпуска заготовок первого типоразмера только до 308 шт., поскольку дальнейшее уменьшение плана не приведет к уменьшению суммарных отходов.

Для корректировки плана выпуска заготовок третьего типоразмера точка K станет новой оптимальной точкой. Координаты точки K ищутся как координаты пересечения прямой (1) и оси Х т.е.решаем систему

 

10Х1 + 9Х2 = 400

Х2=0

 

Х1 = 40; Х2 = 0

 

Подставляя полученные данные в левую часть ограничения(3) получаем допустимое значение запаса третьего ресурса - 80

 

 

ресурсы Оптимальное решение
номер Предельный запас Отходы мм. Количество плит точка
Х1 Х2
89 600 G
443,75 99 375 34,375 6,25 D
90 000 K
190,6 99 375 34,375 6,25 D
155,87 99 375 34,375 6,25 D

 

 

Подставляя полученные координаты точки оптимума D в ограничение (2) определяем максимальное увеличение плана не приводящее к изменению количества суммарных отходов.

 

 

Необходимо проанализировать возможность замены станка №2 станком № 3, имеющим одинаковые со станком №2 нормы времени на раскрой заготовок и меньшую стоимость. Общий фонд рабочего времени нового станка составляет 45% от общего фонда времени заменяющего станка.

 

F = F3/ F2= %

 

 

F3 – общий фонд рабочего времени станка №3

 

F3 = ( F/100) * F2 = ( /100)* = мин.

 

Условие целесообразности замены станка: F3 > Z5

Z5- предельно - минимальный запас ресурса 5

 

>

 

Неравенство выполняется – замнена целесообразна.

 

 

РЕСУРСЫ Максимальное изменение целевой функции
номер тип Предельное изменение запаса шт. Ценность единицы ресурса мм/шт.
       
       
       
       
       

 

У = / = мм/шт.

У = / = мм/шт.

 

 

Возможно сокращение плана выпуска заготовок либо первого типоразмера на % либо третьего типоразмера на %. Необходимо выяснить, план выпуска заготовок какого типоразмера целесообразно изменять для уменьшения количества суммарных отходов и определить минимальное количество суммарных отходов в этом случае.

Изменение плана выпуска при условии сокращения на % требуемого количества заготовок третьего типоразмера рассчитывается по формуле

 

bi = (pi/ 100) bi

bi =

 

Изменение минимального количества суммарных отходов при корректировке плана рассчитывается по формуле

 

Wi = yi* bi

 

yi – ценность единицы i-го ресурса

 

для третьего типоразмера получаем

 

W3 = * = мм.

 

Определим минимальное количество суммарных отходов при скорректированном плане выпуска заготовок третьего типоразмера

 

Wiн = Wic - Wi

 

W3н = W3c - W3 = = мм.

 

 

В случае сокращения на % плана выпуска заготовок первого типоразмера рассчитываем аналогично

 

W1 = = мм. . b1 = шт.

 

Минимальное количество отходов W1н = мм

 

Предпочтительным является вариант корректировки плана с меньшим значением целевой функции. Поскольку W1н < W3н, то можно утверждать что корректировка на % плана выпуска заготовок первого типоразмера целесообразна в большей степени, чем корректировка на 18% плана выпуска заготовок третьего типоразмера.

 

Значения yi использованы т.к.

 

b1- b1 > Z

b3 - b3 > Z

 

таким образом зная ценность единицы каждого из ресурсов, можно прогнозировать оптимальное решение при изменении условий производства приводящих к изменению значений целевой функции.

Задача анализа на чувствительность связанна с исследованием целевой функции и отвечает на вопрос, в каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции

Целевая функция задачи оптимального раскроя

 

W = С1*Х1 + С2*Х2 = 2200Х1+3800Х2

 

Для нахождения минимального и максимального значений коэффициента С, при котором точка Е остается оптимальной, необходимо определить тангенсы углов наклона прямой W и прямых (1) и (3)

 

tg = C1/3800 tg = tg =

 

Минимальное значение С1min найдем из условия равенства наклонов прямых (W) и (3), а максимальные значения С1max- из условия равенства наклонов прямых (W) и (1)

 

 

tg = tg C1/3800= C1min =

 

tg = tg C1/3800 = C1max =

 

 

< C1 <

 

 

При С1 max = мм оптимальное решение будет двигаться в любой точке линии EF. При С1 > мм оптимум смещаться в точку . При этом ограничение (3) становится пассивным, а соответствующий ему ресурс 3 недефицитным. Ограничение (2) приобретает статус активного, а соответствующий ему ресурс (2) становится дефицитным.

Аналогично находим допустимый интервал изменения коэффициента , в котором точка остается оптимальной.

 

Tg = C2/2200 tg = tg =

 

tg = tg C2/2200 = C1min = мм

 

tg = tg C2/2200 = C1 max = мм

 

Значение коэффициента .Сi ;мм Статус i – го ресурса Оптимальное решение
=С1 min < C1 <C 1 max =            
C1 = C1 max =            
C1 = C1 min =            
C1 < C1 max =            
C1 < C1 min =            
= C2 min <C2 < C2 max =            
C2 = C2 max =            
C2 = C2 min =            
C2 < C2 max =            
C2 < C2 min =            

 

 

Предприятие предполагает перейти на раскрой плит другого формата по сравнению с используемым в настоящее время. Это приведет к увеличению площадей отходов по первой и второй схемам и составит и соответственно. необходимо осуществить прогноз минимального количества суммарных отходов и решить вопрос о допустимости применения старых карт раскроя при работе с новым форматом плит. Если минимальное количество суммарных отходов в новых условиях производства отличается от аналогичного показателя при старом формате плит больше чем на %, то можно говорит о нецелесообразности применения существующих в настоящее время карт раскроя.

Выражение целевой функции при изменении формата

 

W C1н*Х1 + С2н*Х2 =

 

Тангенс угла наклона целевой функции

 

Tg =

 

Точка будет оптимальна, пока тангенс угла наклона прямой W находится в интервале

 

Tg < tg < tg

 

Анализ области допустимых решений рассматриваемой задачи позволяет сделать следующий вывод: если выше приведенное условие не выполняется,то зависимости от угла наклона прямой, характеризующей целевую функцию, оптимальными точками могут быть точки

 

точка D ; tg > tg

 

точка F ; tg < tg < tg

 

точка E ; 0 < tg < tg

 

 

Подставляя рассчитанные ранее значения тангенсов углов получим неравенство

 

Следовательно координаты оптимальной точки не изменяются. Подставив их в выражение для целевой функции, получим минимальное количество суммарных отходов при новом формате плит,равное

 

W =

 

Полученное значение на % превышает аналогичный показатель при предыдущем формате плит, поэтому целесообразно осуществить замену существующих карт раскроя.

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.