Дисперсия суммы случайных величин

Функции случайных аргументов

Для решения многих задач необходимо определение характеристик функции по известным характеристикам аргументов (случайных величин) или определение закона распределения функции случайных величин по известному закону аргумента.

Математическое ожидание суммы случайных величин

Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин.

Постановка задачи. Дана система случайных величин (X,Y), плотность распределения которой известна. Требуется определить математическое ожидание суммы случайных величин M(Z)=M(X+Y).

Используя определение математического ожидания случайной непрерывной величины, получаем

Т.е. .

Если случайная величина , то . (4.1)

Эта теорема справедлива как для зависимых, так и для независимых величин.

Математическое ожидание линейной функции случайных величинравно той же линейной функции от математических ожиданий этих величин:

, где - неслучайные величины.

В случае комплексного характера случайной величины математическое ожиданиеее также будет комплексным:

Математическое ожидание произведениянескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих случайных величин.

Постановка задачи.

Пусть случайная величина имеет закон распределения . Требуется определить МО M(Z) случайной величины Z.

Поскольку случайные величины являются независимыми, то функцию можно представить как произведение сомножителей:

Тогда математическое ожидание случайной величины Z будет равно

. Откуда

. (4.2)

Выражение (4.2) не применимо для зависимых случайных величин.

Математическое ожидание произведения двух зависимых случайных величин равно сумме произведений их математических ожиданий и корреляционного момента:

. (4.3)

Справедливость этого свойства вытекает из формулы корреляционного момента.

Математическое ожидание нелинейной функции случайных аргументов.Пусть случайная величина Z является функцией случайных аргументов . Требуется определить МО M(Z).

Поставленная задача решается точно только для некоторых частных случаев. В общем случае при решении этой задачи сначала нелинейную функцию в окрестности точки линеаризуют разложением ее в ряд Тейлора:

. Применяя к этой случайной величине свойство МО линейной функции, находим:

, (4.4)

учитывая, что .

Таким образом, МО нелинейной функции случайных аргументов равно этой же функции от математических ожиданий этих аргументов.

Дисперсия суммы случайных величин

Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий и удвоенного корреляционного момента этих величин:

. (4.5)

Доказательство.

Пусть X+Y=Z, тогда

что и требовалось доказать.

Формула (4.2) может быть обобщена на любое число слагаемых:

, (4.6)

где - корреляционный момент случайных величин , знак под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные парные сочетания случайных величин .

Если случайные величины не коррелированны, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий этих величин:

. (4.7)

Справедливость равенства (4.7) вытекает из того, что для не коррелированных случайных величин корреляционный момент .

Дисперсия линейной функции случайных величинравна

, (4.8)

где - неслучайные величины.

Если случайные величины не коррелированны, то

. (4.9)

Пример. Определить дисперсию случайной величины , имеющей комплексный характер.

Дисперсией случайной комплексной величины называют МО квадрата модуля комплексной центрированной случайной величины, поэтому

. Следовательно, дисперсия комплексной случайной величины равна сумме дисперсий действительной X и мнимой Y случайных частей.

Дисперсия произведениядвух независимых случайных величин X и Y вычисляется по формуле

. (4.10)

Доказательство.

Пусть , тогда

Так как случайные величины X и Y независимы, то и также будут независимы, поэтому

Кроме того, .

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Дисперсия нелинейной функции случайных аргументов.Пусть случайная величина Z является функцией случайных аргументов . Требуется определить дисперсию D(Z).

В общем случае при решении этой задачи нелинейную функцию в окрестности точки линеаризуют разложением ее в ряд Тейлора:

. Применяя к этой случайной величине свойство дисперсии линейной функции и, учитывая, что дисперсия первого слагаемого (детерминированная функция) в этом выражении равна нулю, находим:

. (4.11)

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: