Числовые характеристики случайных величин.

Случайной называется величина, которая при повторении опыта может принимать неодинаковые числовые значения. Случайная величина называется дискретной, если она в результате опыта может принимать конечное число значений. Случайные величины обозначаются большими латинскими буквами – , а их значения, принимаемые во время опыта малыми – . Знаки отношений между случайными величинами и их значениями формируют события: – случайная величина приняла значение , – случайная величина приняла значение не превосходящее .

Пусть в результате опытов случайная величина может принять множество значений . Каждое такое значение может появиться со своей вероятностью – . Таким образом, возникает некоторая зависимость между значениями случайной величины и вероятностями их появления, которая может быть выражена формулой . Это соотношение называется законом распределения случайной дискретной величины. Если его задать не формулой, а в виде таблицы

			…
			…

то такая таблица носит название – ряд распределения. График построенный по этой таблице называется – многоугольник распределения.

Мода случайной дискретной величины есть ее значение, отвечающее наибольшей вероятности

.

Математическое ожидание случайной величины характеризует ее среднее значение. Все значения случайной величины группируются вокруг этого значения. Для случайной дискретной величины математическое ожидание выражается формулой

Иногда математическое ожидание обозначают – .

Для описания рассеяния случайной дискретной величины служит специальная характеристика – дисперсия. Она выражается формулой

.

Квадратный корень этой величины

называется среднеквадратичным отклонением случайной величины . Иногда дисперсию и среднеквадратичное отклонение обозначают – .

Задачи:

1. Стрелок производит 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. За каждое попадание ему засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа выбитых очков. Вычислить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Указания:

a) В качестве значений случайной величины Х следует ввести число выбитых очков – {0,5,10,15,20,30,35,40,45,50}.

b) Вычислить вероятности этих значений по формуле Бернулли .

c) Вычислить в отдельной ячейке математическое ожидание.

d) Вычислить квадраты отклонений случайной величины.

e) Вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

f) Результаты вычислений свести в таблицу.

g) Построить многоугольник распределения.

Примечание:

В расчетах следует использовать абсолютную и относительную адресацию ячеек. При корректировке данных изменять абсолютную и относительную адресацию ячеек можно клавишей F4.

2. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,7. Производится ряд независимых выстрелов, которые продолжаются до первого поражения, после чего прекращаются. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа произведенных выстрелов, ограничиваясь 20 значениями. Вычислить моду, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

1.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Игральная кость брошена 2 раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна одиннадцати?

2. В партии из 300 деталей имеется 50 бракованных. Для проверки отобрали 15 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется только 3 бракованных.

3. В студенческой группе (17 девушек и 8 юношей) разыгрываются 7 зарубежных путевок. Какова вероятность того, что путевки получат три девушки и четыре юноши?

4. На шести одинаковых карточках написаны буквы «А», «А», «А», «М», «С», «Р». Какова вероятность того, что случайным образом разложив в ряд карточки получим слово «САМАРА»?

5. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 выбирают две и составляют двузначное число. Событие А – обе цифры четные; событие В – обе цифры нечетные. Найдите вероятности событий А+В и АВ.

6. Студент разыскивает нужную ему цитату в трех книгах. Вероятности того, что цитата содержится в первой, второй и третьей книге равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что цитата содержится в одной книге.

7. На шести одинаковых карточках написаны буквы «А», «А», «А», «М», «С», «Р». Какова вероятность того, что, разложив вряд четыре случайно отобранные карточки, мы получим слово «МАРС»?

8. Управление УВД выделило три премии для сотрудников оперативных групп. Жребий тянули все 10 сотрудников. Какова вероятность того, что первую премию получит следователь Иваненко, вторую оперативник Петренко, а третью – инспектор Нечипоренко?

9. Как показывает практика, в среднем в трех автомобилях из каждой тысячи, проходящих таможенный досмотр, обнаруживают наркотики. Какова вероятность того, что наркотики будут обнаружены, хотя бы в одной из пятисот проверенных машин?

10. В команде по синхронному плаванию 10 мастеров спорта. Для участия в соревнованиях выбрали четверых. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены мастера спорта.

11. Для включения в избирательный бюллетень нужно выбрать 15 кандидатов. Какова вероятность того, что в бюллетень попадет интересующий нас кандидат, если все кандидаты имеют одинаковые шансы?

12. Из цифр 3, 5, 9, составлены всевозможные двузначные числа. Какова вероятность того, что выбранное из этой совокупности число делится на 3?

13. Вероятность того ,что книга имеется в фондах университетской библиотеки равна 0,5; городской библиотеки – 0,4; областной библиотеки – 0,7. Найти вероятность того, что книга есть хотя бы в одной библиотеке.

14. Найдите вероятность того , что два мотора на самолете выйдут из строя, если вероятность выхода из строя одного мотора не зависит от исправности других и равна 0, 0001.

15. Вероятность того, что студент сдаст экзамен по уголовному праву , равна 0,6, а вероятность успешной сдачи им экзамена по гражданскому праву, равна 0,7. Какова вероятность того, что он успешно сдаст оба экзамена?

16. В течение месяца суд вынес 36 приговоров, в том числе 8 – за кражу. В порядке прокурорского надзора проверено 15% дел. Какова вероятность того, что в их числе оказалось два дела по обвинению в краже?

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: