Геометрическое распределение

ЛЕКЦИЯ 8

Распределения вероятностей дискретных случайных величин. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Производящая функция.

6. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Биномиальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может либо появится, либо не появится. Вероятность p появления события A во всех испытаниях постоянна и не изменяется от испытания к испытанию. Рассмотрим в качестве случайной величины X число появлений события A в этих испытаниях. Формула, позволяющая найти вероятность появления события A
ровно k раз в n испытаниях, как известно, описывается формулой Бернулли

. (6.1)

Распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли, называется биномиальным.

Этот закон назван "биномиальным" потому, что правую часть можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона

.

Запишем биномиальный закон в виде таблицы

X	n	n–1	…	k	…
P	pn	npn–1q	…		…	qn

Найдем числовые характеристики этого распределения.

По определению математического ожидания для ДСВ имеем

.

Запишем равенство, являющееся бином Ньютона

.

и продифференцируем его по p. В результате получим

.

Умножим левую и правую часть на p:

.

Учитывая, что p+q=1, имеем

(6.2)

Итак, математическое ожидание числа появлений событий в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний n на вероятность p появления события в каждом испытании.

Дисперсию вычислим по формуле

.

Для этого найдем

.

Предварительно продифференцируем формулу бинома Ньютона два раза по p:

и умножим обе части равенства на p²:

находим

Следовательно,

Итак, дисперсия биномиального распределения равна

. (6.3)

Данные результаты можно получить и из чисто качественных рассуждений. Общее число X появлений события A во всех испытаниях складываются из числа появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если X₁ – число появлений события в первом испытании, X₂ – во втором и т.д., то общее число появлений события A во всех испытаниях равно X=X₁+X₂+…+X_n. По свойству математического ожидания:

.

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа событий в одном испытании, которое равно вероятности события. Таким образом,

.

По свойству дисперсии:

.

Так как , а математическое ожидание случайной величины , которое может принимать только два значения, а именно 1² с вероятностью p и 0² с вероятностью q, то . Таким образом, В результате, получаем

.

Воспользовавшись понятием начальных и центральных моментов, можно получить формулы для асимметрии и эксцесса:

. (6.4)

Многоугольник биномиального распределения имеет следующий вид (см. рис. 6.1). Вероятность P_n(k) сначала возрастает при увеличении k, достигает наибольшего значения и далее начинает убывать. Биномиальное распределение асимметрично, за исключением случая p=0,5. Отметим, что при большом числе испытаний n биномиальное распределение весьма близко к нормальному. (Обоснование этого предложения связано с локальной теоремой Муавра-Лапласа.)

Число m₀ наступлений события называется наивероятнейшим, если вероятность наступления события данное число раз в этой серии испытаний наибольшая (максимум в многоугольнике распределения). Для биномиального распределения

. (6.5)

Замечание. Данное неравенство можно доказать, используя рекуррентную формулу для биномиальных вероятностей:

(6.6)

Пример 6.1. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно математического ожидание и дисперсия, также наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий?

Решение. Поскольку p=0,31, q=0,69, n=75, то

M[X] = np = 75×0,31 = 23,25; D[X] = npq = 75×0,31×0,69 = 16,04.

Для нахождения наивероятнейшего числа m₀, составим двойное неравенство

.

Отсюда следует, что m₀ = 23.

Распределение Пуассона

Как было уже отмечено, биномиальное распределение приближается к нормальному при n®¥. Однако это не имеет места, если наряду с увеличением n одна из величин p или q стремится к нулю. В этом случае имеет место асимптотическая формула Пуассона, т.е. при n®¥, p®0

, (6.7)

где l=np. Эта формула определяет закон распределения Пуассона, который имеет самостоятельное значение, а не только как частный случай биномиального распределения. В отличие от биномиального распределения здесь случайная величина k может принимать бесконечное множество значений: k=0,1,2,…

Закон Пуассона описывает число событий k, происходящих за одинаковые промежутки времени при условии, что события происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, которая характеризуется параметром l. Многоугольник распределения Пуассона показан на рис. 6.2. Отметим, что при больших l рас пределение Пуассона приближается к нормальному. Поэтому распределение Пуассона применяется, как правило, в тех случаях, когда l имеет порядок единицы, при этом число испытаний n должно быть велико, а вероятность появления события p в каждом испытании мала. В связи с этим закон Пуассона часто называют еще законом распределения редких явлений.

Примерами ситуаций, в которых возникает распределение Пуассона, могут служить распределения: 1) числа определенных микробов в единице объема; 2) числа вылетевших электронов с накаленного катода за единицу времени; 3) числа a-частиц, испускаемых радиоактивным источником за определенных промежуток времени; 4) числа вызовов, поступающих на телефонную станцию за определенное время суток и т.д.

Запишем закон Пуассона в виде таблицы

X					…	k	…
P					…		…

Проверим, что сумма всех вероятностей равна единице:

Найдем числовые характеристики этого распределения. По определению математического ожидания для ДСВ имеем

.

Отметим, что в последней сумме суммирование начинается с k=1, т.к. первый член суммы, соответствующий k=0, равен нулю.

Для нахождения дисперсии найдем предварительно математического ожидание квадрата случайной:

Тогда

Таким образом, математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого распределения

. (6.8)

В этом состоит отличительная особенность распределения Пуассона. Так, если на основании опытных данных было получено, что математическое ожидание и дисперсия некоторой величины близки между собой, то есть основания предполагать, что данная случайная величина распределена в соответствии с законом Пуассона.

Воспользовавшись понятием начальных и центральных моментов, можно показать, что для распределения Пуассона коэффициент асимметрии и эксцесс равны:

. (6.9)

Поскольку параметр l всегда положителен, то у распределения Пуассона всегда положительная асимметрия и эксцесс.

Покажем теперь, что формулу Пуассона можно рассматривать как математическую модель простейшего потока событий.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Поток называется простейшим, если он обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Интенсивностью потока l называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивности потока l известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона:

. (6.10)

Эта формула отражает все свойства простейшего потока. Более того, любой простейший поток описывается формулой Пуассона, поэтому простейшие потоки часто называют пуассоновскими.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка времени и не зависит от начала его отсчета. Другими словами, если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени t есть функция, зависящая только от k и от t.

В случае простейшего потока из формулы Пуассона (6.10) следует, что вероятность k событий за время t, при заданной интенсивности является функцией только двух аргументов: k и t, что характеризует свойство стационарности.

Свойство отсутствия последействия состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

В случае простейшего потока в формуле Пуассона (6.10) не используется информация о появлении событий до начала рассматриваемого промежутка времени, что характеризует свойство отсутствия последействия.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появление более одного события за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Покажем, что формула Пуассона (6.10) отражает свойство ординарности. Положив k=0 и k=1, найдем соответственно вероятности не появления событий и появления одного события:

Следовательно, вероятность появления более одного события равна

.

Используя разложение функции в ряд Маклорена, после элементарных преобразований получим

.

Сравнивая P_t(1) и P_t(k>1), заключаем, что при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство ординарности.

Пример 6.2. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 сек испускало в среднем 3,87 a-частицы. Найти вероятность того, что за 1 сек это вещество испустит хотя бы одну частицу.

Решение. Как мы уже отмечали, распределение числа a-частиц, испускаемых радиоактивным источником за определенных промежуток времени описывается формулой Пуассона, т.е. образует простейший поток событий. Поскольку интенсивность испускания a-частиц за 1 сек равно

,

то формула Пуассона (6.10) примет вид

Таким образом, вероятность того, что за t=1 сек вещество испустит хотя бы одну частицу будет равно

.

Геометрическое распределение

Пусть производится стрельба по заданной мишени до первого попадания, при этом вероятность p попадания в цель в каждом выстреле одна и та же и не зависит от результатов предыдущих выстрелов. Другими словами, в рассматриваемом опыте осуществляется схема Бернулли. В качестве случайной величины X будем рассматривать число произведенных выстрелов. Очевидно, что возможными значениями случайной величины X являются натуральные числа: x₁=1, x₂=2, … тогда вероятность того, что понадобится k выстрелов будет равна

. (6.11)

Полагая в этой формуле k=1,2, … получим геометрическую прогрессию с первым членом p и множителем q:

.

По этой причине распределение, определяемое формулой (6.11) называется геометрическим.

Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, легко убедится, что

.

Найдем числовые характеристики геометрического распределения.

По определению математического ожидания для ДСВ имеем

.

Дисперсию вычислим по формуле

.

Для этого найдем

.

Следовательно,

.

Итак, математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения равна

. (6.12)

6.4.* Производящая функция

При решении задач, связанных с ДСВ, часто используются методы комбинаторики. Одним из наиболее развитых теоретических методов комбинаторного анализа является метод производящих функций, который является одним из самых сильных методов и в применениях. Кратко познакомимся с ним.

Если случайная величина x принимает только целые неотрицательные значения, т.е.

,

то производящей функцией распределения вероятностей случайной величины x называется функция

, (6.13)

где z – действительная или комплексная переменная. Отметим, что между множеством производящих функций j_x(x) и множеством распределений {P(x=k)} существует взаимно однозначное соответствие.

Пусть случайная величина x имеет биномиальное распределение

.

Тогда, используя формулу бинома Ньютона, получим

,

т.е. производящая функция биномиального распределения имеет вид

. (6.14)

Добавление. Производящая функция распределения Пуассона

имеет вид

. (6.15)

Производящая функция геометрического распределения

имеет вид

. (6.16)

При помощи производящих функций удобно находить основные числовые характеристики ДСВ. Например, первый и второй начальный моменты связаны с производящей функцией следующими равенствами:

, (6.17)

. (6.18)

Метод производящих функций часто бывает удобен тем, что в некоторых случаях функцию распределения ДСВ очень трудно определить, тогда как производящую функцию порой легко найти. Например, рассмотрим схему последовательных независимых испытаний Бернулли, но внесем в нее одно изменение. Пусть вероятность осуществления события A от испытания к испытанию меняется. Это означает, что формула Бернулли для такой схемы становится неприменимой. Задача нахождения функции распределения в таком случае представляет значительные трудности. Однако для данной схемы легко находится производящая функция, а, следовательно, легко находятся и соответствующие числовые характеристики.

Широкое применение производящих функций основано на том, что изучение сумм случайных величин можно заменить изучением произведений соответствующих производящих функций. Так, если x₁, x₂, …, x_n независимы, то

. (6.19)

Пусть p_k=P_k(A) – вероятность "успеха" в k-м испытании в схеме Бернулли (соответственно, q_k=1–p_k – вероятность "неуспеха" в k-м испытании). Тогда, в соответствие с формулой (6.19), производящая функция будет иметь вид

. (6.20)

Пользуясь данной производящей функцией, можем написать

.

Здесь учтено, что p_k+q_k=1. Теперь по формуле (6.1) найдем второй начальный момент. Для этого предварительно вычислим

.

Тогда

и .

В частном случае p₁=p₂=…=p_n=p (т.е. в случае биномиального распределения) из полученных формул следует, что Mx=np, Dx=npq.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: