Метод наименьших квадратов

При анализе результатов различных экспериментов очень часто возникает необходимость установить вид зависимости какой-либо величины y от величины х. Например, какова зависимость силы тока I в цепи от приложенного напряжения U или какова зависимость производительности труда работника от его заработной платы.

Чтобы установить вид функциональной зависимости y = f(x) производят ряд измерений искомой величины y для нескольких различных значений величины х.

Для наглядности результаты измерений, то есть экспериментальные точки с координатами (x_i, y_i), наносят на координатную плоскость OXY и пытаются подобрать функцию y = f(x), график которой наилучшим образом моделирует (отражает) реальную зависимость величины y от величины х. Этот метод называется аппроксимацией, а найденная приблѝженная к реальной функциональная зависимость – аппроксимирующей.

Существует множество методов нахождения аппроксимирующих зависимостей. Наиболее используемым является метод наименьших квадратов (МНК). Он базируется на следующих основных положениях:

1. Заранее на основании каких-либо предположений (например, на основании научных законов) выбирается общий вид зависимости y = f(x). Очень часто, и в естественных, и в социально-экономических науках в качестве аппроксимирующей выбирается линейнаязависимость у = ах + b.

Даже когда зависимость нелинейная (например, зависимость пути S от времени t при равноускоренном движении ), величины, откладываемые по координатным осям, выбирают таким образом, чтобы получить линейную зависимость. То есть, график пути S от времени t при равнопеременном движении строят в осях S = f(t²). Тогда графиком является прямая линия, походящая через начало отсчёта.

2. Аппроксимирующая зависимость у = ах + b является оптимальной (наиболее приближенной к реальной), если сумма квадратов отклонений (расстояний) по вертикали от экспериментальных точек до кривой будет минимальной.

Для построения аппроксимирующей прямой y = ax + b необходимо найти значения углового коэффициента а и параметра b.

При выводе предположим, что погрешности содержат только величины y_i (такое предположение часто оправдывается на практике), иначе вывод значительно усложнится. Пусть отклонение по вертикали экспериментального значения y_i от аппроксимирующей прямой у = ах + b в i-ом (i = 1, 2, 3, ... , n) измерении (при х = x_i) равно

,

тогда, согласно методу наименьших квадратов наилучшим приближением будет такая аппроксимирующая прямая, для которой сумма квадратов отклонений по вертикали от экспериментальных точек до прямой по всем n измерениям будет минимальной, т.е.

– минимальна.

Для определения значений коэффициентов а и b аппроксимирующей прямой, при которых величина S будет минимальной, найдем частные производные и и приравняем их к нулю.

Составим систему уравнений:

; (3.2.1)

Учитывая, что а = Const и b = Const, и, разделив каждое из уравнений системы (3.2.1) на 2, получим

(3.2.2)

Коэффициенты а и b найдём решением системы уравнений (3.2.2).

Для нахождения коэффициента а, умножим первое уравнение системы (3.2.2) на n, а второе – на :

(3.2.3)

Вычтем второе уравнение системы (3.2.3) из первого и получим:

,

откуда коэффициент а:

. (3.2.4)

Для нахождения коэффициента b, умножим первое уравнение системы (3.2.2) на , а второе – на :

(3.2.5)

Вычтем первое уравнение системы (3.2.5) из второго и получим:

,

откуда коэффициент b:

. (3.2.6)

Очевидно, что ручная обработка результатов с помощью приведённых формул слишком трудоёмка. При построении графиков "вручную" метод наименьших квадратов используется интегрировано – прямая между экспериментальными точками проводится "на глаз".

3.2.2 Пример выполнения задания

Задача:

Экспериментально снята зависимость величины у от величины х (значения х и соответствующие им экспериментальные значения у приведены в таблице).

Методом наименьших квадратов определить коэффициенты а и b аппроксимирующей линейной зависимости у = ах + b. На системе координат OXY проставить экспериментальные точки и построить график аппроксимирующей зависимости.

Решение:

Коэффициенты а и b для построения аппроксимирующей линейной зависимости у = ax + b найдем методом наименьших квадратов, используя готовые формулы (3.2.4) и (3.2.6).

Для удобства вычислений заполним таблицу:

i
xi
xi2												–
yi	2,0	2,4	2,5	3,2	3,8	4,2	4,1	5,0	5,4	6,0	38,8	–
xiyi		2,4	5,0	9,6	15,2	21,0	24,6	35,0	43,2	54,0		–

где

;

;

;

;

.

Тогда, учитывая, что число измерений n = 10, по формулам (3.2.4) и (3.2.6) найдём коэффициенты а и b аппроксимирующей линейной зависимости:

;

.

Следовательно, аппроксимирующая линейная зависимость имеет вид

у = 0,44x + 1,88.

Для построения графика аппроксимирующей зависимости найдем координаты двух точек А и В, принадлежащих прямой:

На системе координат OXY проставим экспериментальные точки (обозначены символом «○») и построим график аппроксимирующей зависимости по точкам А и В (обозначены символом «*»).

Состав атомного ядра

3.3.1 Краткие теоретические сведения

Ядра химических элементов обозначаются символом ,

где Х – химический символ элемента,

Z – зарядовое число, которое указывает:

- порядковый номер элемента в таблице Д.И. Менделеева;

- заряд ядра, выраженный в элементарных зарядах;

- количество протонов в ядре;

- количество электронов, движущихся в атоме вокруг ядра;

A – массовое число, которое указывает:

- округленную массу ядра, выраженную в атомных единицах массы (а.е.м.)

(1 а.е.м.=1,66·10⁻²⁷ кг);

- общее количество нуклонов (протонов и нейтронов) в ядре.

По обозначению ядра легко определить его состав:

- количество протонов ;

- количество нейтронов .

Ядра одного и того же химического элемента могут отличаться числом нейтронов. Ядра с одинаковым зарядовым числом Z, но разным массовым числом А называются изотопами.

Силы притяжения, действующие между нуклонами (протонами и нейтронами) в ядре и обеспечивающие существование устойчивых ядер, называются ядерными силами. Они представляют собой проявление самого интенсивного из всех известных в физике видов взаимодействия – сильного взаимодействия.

Свойства ядерных сил:

1) являются силами притяжения;

2) являются короткодействующими (заметно проявляются лишь на расстояниях порядка размеров ядра r ≈ 10^–15 м);

3) обладают свойствами зарядовой независимости (одинаково действуют между протоном и протоном, между протоном и нейтроном, между нейтроном и нейтроном).

Минимальное значение энергии ΔЕ_св, которую нужно затратить для разделения атомного ядра на составляющие его нуклоны, называется энергией связи ядра. Эта энергия расходуется на совершение работы против действия ядерных сил притяжения между нуклонами.

Точные измерения показали, что масса любого ядра, содержащего Z протонов и N нейтронов, меньше суммы масс свободных протонов и нейтронов:

, (3.3.1)

где m_яд, кг – масса ядра атома;

m_p = 1,6726·10^–27 кг – масса протона;

m_n = 1,6749·10^–27 кг – масса нейтрона.

Учитывая закон взаимосвязи массы и энергии Эйнштейна , можно заметить, что полная энергия свободных нуклонов должна быть больше полной энергии составленного из них ядра. Тогда,

, (3.3.2)

где Δm = Z·m_p + N·m_n – m_яд – дефект массы ядра. (3.3.3)

Однако в справочных таблицах приводятся массы нейтральных атомов, а не ядер, поэтому формулу (3.3.3) целесообразно преобразовать так, чтобы в неё вместо массы ядра m_яд входила масса атома m_а.

Так как масса нейтрального атома равна сумме массы ядра и масс Z электронов, составляющих электронную оболочку, то:

. (3.3.4)

Подставляя (3.3.4) в (3.3.3), получим:

. (3.3.5)

Поскольку m_p + m_e = m_H, то формула (3.3.5) запишется в виде:

, (3.3.6)

где m_H, - масса атома водорода, состоящего из одного протона и одного электрона.

Примечание: Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна:

ΔЕ_св=931·Δm, (3.3.7)

где Δm - дефект массы, выраженный в атомных единицах массы (а.е.м.),

931 - коэффициент пропорциональности (1 а.е.м. ~ 931 МэВ).

1 МэВ = 10⁶ эВ = 1,6·10⁻¹³ Дж

Электронная конфигурация атома – это распределение электронов по подоболочкам и оболочкам в атоме.

Состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырёх квантовых чисел:

– главного n (n = 1, 2, 3, …, n);

– орбитального ℓ (ℓ = 0, 1, 2, …, n – 1);

– магнитного m_ℓ (m_ℓ = 0, ±1, ±2, …, ±ℓ);

– спинового m_s (m_s = ± ).

Таблица 5 – Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам

Главное квантовое число n	n = 1	n = 2	n = 3
Символ оболочки	К	L	M
Максимальное число электронов в оболочке N = 2n2	NК=2	NL=8	NM=18
Орбитальное квантовое число ℓ = (0; …; n – 1)	ℓ = 0	ℓ = 0; 1	ℓ = 0; 1; 2
Число подоболочек (подуровней)	1 (s)	2 (s, p)	3 (s, p, d)
Магнитное квантовое число mℓ = (0; …; ±ℓ)	mℓ = 0	mℓ = –1; 0; 1	mℓ = –2; –1; 0; 1; 2
Магнитное спиновое квантовое число ms	ms = ±	ms = ±	ms = ±
Максимальное число электронов в подоболочке N(s, p, d, f, …) = 2·(2ℓ + 1)	N(s) = 2	N(s) = 2 N(p) = 6	N(s) = 2 N(p) = 6 N(d) = 10

Электронная конфигурация атома описывается символическими формулами, где последовательно перечисляются целиком и частично заполненные подоболочки и в виде верхних индексов указывается количество электронов в каждой из этих подоболочек.

3.3.2 Пример выполнения задания

Задача:

Определите состав (количество протонов и нейтронов) атомных ядер, указанных в условиях задач. Найдите дефект массы (в атомных единицах массы и в килограммах) и энергию связи (в мегаэлектронвольтах и в джоулях) этих ядер. Для соответствующих атомов запишите формулу электронной конфигурации, опишите распределение электронов по оболочкам (слоям) и подоболочкам невозбужденного атома, изобразите распределение электронов по орбиталям.

Дано:

Масса атома фтора m_а = 18,99840 а.е.м.

Найти: ∆m, ΔЕ_св

Решение:

Дефект массы ядра ∆m – разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра:

Δm = Z·m_p + N·m_n – m_яд,

где Z = 9 –число протонов в ядре;

N =А−Z = 19 −9 = 10 – число нейтронов в ядре;

m_p = 1,6726·10^–27 кг = 1,00728 а.е.м. – масса протона;

m_n = 1,6749·10^–27 кг = 1,00867 а.е.м. – масса нейтрона.

m_яд – масса ядра атома.

Так как масса нейтрального атома равна сумме массы ядра и масс Z электронов, составляющих электронную оболочку, то:

,

следовательно,

где m_H = m_p + m_e = 1,00783 а.е.м. - масса атома водорода, состоящего из одного протона и одного электрона.

Dm = 9·1,00783 + (19 – 9)·1,00867 – 18,99840 = 0,15877 а.е.м. = 0,26356·10⁻²⁷ кг

Энергия связи ядра вычисляется по формуле ΔЕ_св=931·Δm.

ΔЕ_св=931·0,26356 = 245,4 МэВ ≈ 245,4·1,6·10⁻¹³ ≈ 392,6·10⁻¹³ Дж.

Формула электронной конфигурации атома фтора : 1s²2s²2p⁵.

Распределение электронов по орбиталям изображено на рисунке:

где 1, 2 – номера уровней;

s, p – обозначение подоболочек (подуровней);

− условное обозначение целиком заполненной орбитали;

− условное обозначение частично заполненной орбитали.

Таким образом, в K-слое этого атома находятся два электрона (оба в 1s-подоболочке), в L-слое находятся семь электронов (два – в 2s-подоболочке, пять – в 2p-подоболочке).

3.4 Теоретические вопросы для самостоятельной проработки

При самостоятельной проработке материала необходимо руководствоваться следующими правилами:

1. Внимательно прочитать название вопроса.

2. Выбрать необходимые учебные пособия из предложенного списка литературы или подобрать источники, используя справочный каталог библиотеки.

3. Внимательно прочитать отобранный материал. При этом:

1) выделить в тексте базовые понятия вопроса и выяснить их смысл;

2) обратить внимание на условные обозначения величин и единицы их измерения;

3) провести анализ встречающихся законов:

– выяснить, связь между какими явлениями (процессами) или величинами выражает закон, установить границы его применимости;

– выделить в тексте словесную формулировку закона и дать (если возможно) его математическое выражение;

– найти (если возможно) опытные факты, подтверждающие справедливость закона;

4) при наличии в тексте математических преобразований (которые, как правило, даются в учебниках в сокращённой форме) целесообразно провести те же преобразования самостоятельно в полной форме;

5) провести анализ встречающихся рисунков (графиков, чертежей):

– выделить основную часть рисунка;

– найти в тексте описание рисунка;

– сопоставить условные обозначения в тексте и на рисунках;

6) разобраться с материалом, представленным в виде схем и таблиц:

– выделить составные элементы;

– уяснить взаимосвязи между элементами и закономерности этих взаимосвязей.

4. Составить план проработанного материала.

5. На основе составленного плана своими словами логично и последовательно изложить материал.

4 ЗАДАНИЯ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ И КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ№ 1 «ДОСТИЖЕНИЯ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ»

Примерная тематика работ реферативного плана:

− История естествознания:

1. Античный период. Переход от мифа к Логосу: Фалеc, Гераклит, пифагорейская школа.

2. Учение элеатов. «Мир мнений» и «мир истины».

3. Античный период. Демокрит: античный атомизм, учение о причинности.

4. Античный период. Платон. Материальный мир и мир идей. Учение о познании.

5. Схоластика в Средневековье и в настоящее время.

6. Средневековье. Наука на Востоке.

7. Эпоха возрождения: революция Коперника, становление научной биологии.

8. Эпоха Великих географических открытий.

9. Френсис Бэкон: «Scientia est potentia».

10. «Cogito, ergo sum» – Рене Декарт и его роль в становлении современного естествознания.

− Основы квантовой и ядерной физики:

11. Лазеры: принцип действия, классификация, характеристики.

12. Применение лазеров: оптические измерения, передача информации, голография, технологические воздействия и др.

13. Спектроскопия: оптические спектры, комбинационное рассеяние, гамма-спектроскопия ядер и др.

14. Основы ядерной энергетики.

15. Перспективы термоядерной энергетики.

16. Сверхпроводимость и проблема получения высокотемпературных сверхпроводников.

17. Основы дозиметрии и защиты от радиоактивных излучений.

18. Нанотехнологии – что это?

19. Радиоактивность: история открытия, виды радиоактивных распадов и излучений, закономерности, применение.

20. Дозиметрия и проблемы защиты от воздействия радиации.

− Химические системы:

21. Самое необыкновенное вещество - вода (фазовая диаграмма, аномальная теплоемкость, температура кипения и плавления, поверхностное натяжение).

22. Растворы (растворимость, осмос, замерзание и кипение растворов, растворы электролитов).

23. Получение черных и цветных металлов.

24. Физические методы исследований в химии (хроматография, активационный метод, ядерный магнитный резонанс и электронный парамагнитный резонанс, радиоспектрометрия и др.).

25. Полимеры, их получение, свойства и применение.

26. Поверхностно-активные вещества: строение, свойства, применение.

27. Соединения кремния (диоксид и силикаты) в природе и технике (стройиндустрия, производство стекла и керамики).

28. Нефть и природный газ: происхождение добыча, переработка, использование.

29. Атом углерода – главный элемент живого.

30. Эволюционная химия.

− Основы биологии:

31. Витамины.

32. Лекарственные средства (антибиотики, анальгетики, сульфаниламидные препараты, адреналин и антиадренергические препараты и др.).

33. Перспективы борьбы с раком и СПИДом.

34. Сердечно-сосудистые заболевания, их лечение и профилактика.

35. Иммунитет: история изучения, современные представления, практические рекомендации.

36. Зрение: зрительный аппарат и его функционирование, угрозы зрению, болезни и их лечение, практические рекомендации по сохранению зрения.

37. Хронология эволюции жизни на Земле.

38. Круговорот веществ (углерода, азота, воды, фосфора) и энергии в природе.

39. Роль и действие ДНК и РНК в организме.

40. Цитология – наука о клетках.

− Естественнонаучные основы социальных наук:

41. Этология - наука о поведении животных.

42. Основные положения социобиологии.

43. Перспективы генной инженерии.

44. Влияние солнечных и космических циклов на живые тела и общественные процессы.

45. Основы психоанализа (З. Фрейд, К. Юнг, Э. Фромм).

46. Учение В.И. Вернадского о биосфере и ноосфере.

47. Теория этногенеза Л.Н. Гумилева.

48. Проблема множественности разумных миров и изучения НЛО.

49. Самоорганизация в социально-экономических системах. Соотношение хаоса и упорядоченности. Механизмы развития общественных систем.

50. Глобальный экологический кризис.

5 ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ№ 2

«ПРИКЛАДНОЕ ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ»

Задание 1. Цилиндр имеет в основании круг диаметром d=(80.0 0.5) мм. Высота цилиндра h=(20.0 0.1) см. Определить с учетом погрешности объем цилиндра. Учесть погрешность используемого значения числа .

Задание 2. Масса куска льда, взвешенного на весах с ценой деления 10 г, составила 450 г. Рассчитать с учетом погрешности количество теплоты Q, необходимое для его таяния при 0°С, если значение удельной теплоты плавления льда, определенное по справочнику, составляет 3.3·10⁵ Дж/кг. Применить формулу .

Задание 3. Емкость конденсатора C=4 мкФ определена с относительной погрешностью =5%. К нему приложено напряжение U=(60 0 1) В. Определить с учетом погрешности энергию E, запасенную в конденсаторе. Применить формулу .

Задание 4. Газ находится в сосуде объемом =(200 1) л при давлении =2.6 атм., измеренном с относительной погрешностью =2%. Объем сосуда изотермически увеличился до =(300 1) л. Найти с учетом погрешности давление газа после расширения. Применить закон Бойля – Мариотта .

Задание 5. Прямоугольный брусок имеет основание в виде квадрата со стороной a=(80.0 0.1) мм. Его средняя высота, измеренная линейкой с миллиметровыми делениями, h=25 мм. Определить с учетом погрешности объем бруска.

Задание 6. Определить с учетом погрешности кинетическую энергию поступательного движения автомобиля, масса которого, измеренная на весах с погрешностью 10 кг, составляет 3280 кг, а скорость =(54 2) км/час. Применить формулу .

Задание 7. Определить с учетом погрешности массу алюминиевого кубика с длиной ребра см. В справочнике приведено значение плотности алюминия 2.7 г/см³.

Задание 8. Предприятие производит ежесуточно кг продукции первого сорта и кг продукции второго сорта. Средняя отпускная цена продукции первого сорта составляет 400 руб/кг, второго сорта 350 руб/кг. Относительные погрешности определения отпускных цен составляют 10%. Определить с учетом погрешности стоимость ежесуточной продукции.

Задание 9. По резистору, сопротивление которого R=20 Ом определено с относительной погрешностью =2%, протекает ток силой I=(2.0 0.1) А. Длительность протекания тока t=(20.0 0.2) с. Определить с учетом погрешности количество выделившейся в резисторе теплоты . Применить закон Джоуля – Ленца .

Задание 10. Тело движется равноускоренно без начальной скорости и за время t=(5.0 0.1) с проходит путь S=(50.0 0.1) м. Определить с учетом погрешности ускорение этого тела. Применить формулу .

Задания 11-20. Экспериментально снята зависимость величины y от величины x. Значения x и соответствующие экспериментальные значения y для каждого варианта приведены в таблице. Методом наименьших квадратов определить коэффициенты a и b аппроксимирующей линейной зависимости , записать уравнение этой зависимости. На системе координат OXY проставить экспериментальные точки, провести график аппроксимирующей зависимости.

Задания 21-30. Ответьте на вопросы заданий. Объем ответа – не более трех страниц.

21. Как современные представления о пространстве и времени, рассматриваемые в специальной теории относительности, отличаются от классических представлений?

22. В чем заключаются концепции нестационарной Вселенной и Большого Взрыва?

23. Как образуются и эволюционируют звезды?

24. В чем заключается принцип механистического детерминизма? Что такое «динамические закономерности»?

25. Чем эволюционно-синергетическая парадигма отличается от механистической парадигмы?

26. Почему второе начало термодинамики имеет общенаучное, мировоззренческое значение?

27. Как современная наука отвечает на вопрос о том, континуальна или дискретна материя?

28. Что изучает квантовая механика? Какова область ее применения? Каковы ее главные отличия от классической механики?

29. Каковы два альтернативных способа получения тепловой и электрической энергии за счет ядерных реакций?

30. Каковы современные представления о мельчайших («элементарных») частицах, из которых построен весь материальный мир?

Задания 31-40. Определите состав (количество протонов и нейтронов) атомных ядер, указанных в условиях задач. Найдите дефект массы (в атомных единицах массы и в килограммах) и энергию связи (в мегаэлектронвольтах и в джоулях) этих ядер. Для соответствующих атомов запишите формулу электронной конфигурации, опишите распределение электронов по оболочкам (слоям) и подоболочкам невозбужденного атома, изобразите распределение электронов по орбиталям.

Для справки: 1 а.е.м.=1.66·10^-27 кг, 1 МэВ=1.6·10^-13 Дж, масса атома обычного водорода m(₁H¹)=1.00783 а.е.м., масса покоя нейтрона =1.00867 а.е.м.

Например, формула электронной конфигурации для невозбужденного атома ₉F такова: , в K-слое этого атома находятся два электрона (оба в 1s-подоболочке), в L-слое находятся семь электронов (два – в 2s-подоболочке, пять – в 2p-подоболочке). Распределение электронов по орбиталям изображено на следующем рисунке:

Задания 41-50. Что представляют собой вещества и материалы (смеси веществ), указанные в заданиях? Каков их химический состав, как они образуются в природе (для естественных материалов) или как могут быть получены (для искусственных материалов), где применяются? Ответ – не более двух страниц.

Задания 51-60. Опишите указанные в заданиях технологические процессы. Какие химические реакции или физико-химические явления имеют место при проведении этих процессов, для чего служат эти процессы?

51. Крекинг.

52. Вулканизация.

53. Гидролиз целлюлозы.

54. Доменный процесс.

55. Экстракция из раствора.

56. Электролитическое рафинирование металлов.

57. Гидрогенизация жиров.

58. Гашение извести.

59. Водоумягчение.

60. Адсорбционное осушение воздуха.

Задания 61-70. Опишите основные научные достижения указанных в заданиях выдающихся отечественных и зарубежных ученых биологов или медиков. Приведите краткие биографические данные, названия основных научных трудов (при возможности). Ответ – не более двух страниц.

Задания 71-80. Ответьте на вопросы заданий. Объем ответа – не более трех страниц.

71. В чем заключаются отличия живых существ от объектов неживой природы?

72. Как построена систематика (классификация) всех живых существ? Какое место в ней занимает человек разумный?

73. Каковы современные взгляды на происхождение жизни на Земле?

74. Каковы современные взгляды на происхождение и хронологию эволюции человека?

75. В чем заключаются основные положения эволюционного учения Ч. Дарвина?

76. Что такое ферменты? Какие функции они выполняют в живом организме?

77. Что такое фотосинтез, какую роль он играет в утилизации энергии Солнца?

78. В чем заключаются эмпирические законы наследственности (законы Г. Менделя)?

79. Каким образом в молекуле ДНК сохраняется наследственная информация?

80. Какие связи и формы взаимоотношений существуют между видами в экосистемах?

ЛИТЕРАТУРА

1. Горелов, А.А. Концепции современного естествознания: Учеб. пособие для вузов по гуманитарным направлениям и специальностям / А. А. Горелов. - М.: Академия, 2010. - 510 с.

2. Карпенков, С.Х. Концепции современного естествознания: Учеб. для вузов / С. Х. Карпенков. - М.: Акад. Проект, 2003. - 639 с.

3. Евтюхов, К.Н. Концепции современного естествознания: Учебное пособие для студентов экономических и гуманитарных специальностей очной и заочной форм обучения / Евтюхов К.Н. – Брянск: БГИТА, 2011. – 236 с.

4. Найдыш, В.М. Концепции современного естествознания: учебник для вузов по гуманитар. специальностям и направлениям подготовки / В.М. Найдыш. – М.: Альфа-М: ИНФРА-М, 2004. – 622 с.

5. Садохин, А.П. Концепции современного естествознания: учебник для студентов вузов, обучающихся по гуманитарным специальностям и специальностям экономики и управления / А.П. Садохин. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. - 447 с.

6. Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для втузов / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Высшая школа, 2002. – 718 с.

7. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2008. – 569 с.

8. Глинка, Н.Л. Общая химия: учеб. пособие для вузов / Н.Л. Глинка; под ред. А.И. Ермакова – – М.: Интеграл-Пресс, 2004. – 727 с.

9. Коровин, Н.В. Общая химия: учеб. пособие для вузов / Н.В. Коровин – М.: Высшая школа, 2007. - 557 с.

10. Биология с основами экологии: учеб. пособие для вузов / А.С. Лукаткин и др; под ред. А.С. Лукаткина. - М.: Академия, 2008. - 397 с.

11. Лысов, П.К. Биология с основами экологии: учебник для естественнонаучн., техн. и гуманит. направлений и специальностей вузов / П.К. Лысов, А.П. Акифьев, Н.А. Добротина. – М.: Высшая школа, 2007. – 655 с.

12. Пехов, А.П. Биология с основами экологии: учеб. для вузов. / А.П. Пехов. – СПб.: Лань, 2004. – 687 с.

13. Тупикин, Е.И. Общая биология с основами экологии и природоохранной деятельности: учеб. пособие / Е.И. Тупикин. - М.: Академия, 2009. – 380 с.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: