Статистические показатели оценки связи между количественными признаками

Важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений является оценка тесноты и направления связи.

При оценке тесноты связи между количественными признаками могут применяться следующие показатели.

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

Данный коэффициент может быть рассчитан по формуле:

.

(9.12)

Также линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

.

(9.13)

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1. Если значение коэффициента находится в пределах от 0 до 1, то это cвидетельствует о наличии прямой связи между признаками, если в пределах от -1 до 0, то - обратной связи. При r = 0, связь отсутствует между признаками, при r = 1 - связь функциональная.

Пример. На основе имеющихся данных оценить тесноту связи между объемом реализованной продукции (млн. руб.) и балансовой прибылью предприятий (тыс. руб).

Таблица 9.1

По формуле (9.12) получаем:

s_у² = ² - ( )² = 20233,2 - 15326,44 = 4906,76
s_х² = ² - ( )² = 21,98 - 17,37 = 4,67

По формуле (9.13) значение коэффициента корреляции составило:

Таким образом, между изучаемыми признаками существует связь прямая слабая.

Теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции) применяют для оценки тесноты связи и нелинейной зависимости между двумя признаками. Оно определяется по формуле:

,

(9.14)

где s²ост - остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака от всех прочих, кроме x факторов;
s² - общая дисперсия результативного признака.

Этот показатель изменяется в пределах от 0 до 1 и анализ степени тесноты связи полностью соответствует линейному коэффициенту корреляции.

Для измерения тесноты связи при исследовании множественной корреляции зависимости вычисляются множественный и частные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции рассчитывается в случае оценки тесноты связи между результативным (у) и двумя факторными признаками (х₁ и х₂) по формуле:

,

(9.15)

где r_yxi - парные коэффициенты корреляции между признаками, рассчитываемые по формулам:

,

(9.16)

.

(9.17)

Данный коэффициент изменяется в пределах от 0 до 1 и его приближение к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками x₁ и x₂ при фиксированном значении других (k-2) факторных признаков, то есть оценивается связь между x₁ и x₂ в "чистом виде".

В случае зависимости y от двух факторных признаков x₁ и x₂ коэффициенты частной корреляции имеют вид:

,

(9.18)

.

(9.19)

где r - парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака x₂, во втором - x₁.

Также для оценки тесноты связи между количественными признаками применяются ранговые коэффициенты связи.

Ранжирование - это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической из соответствующих номеров мест, которые определяют. Данные ранги называются связными.

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле:

,

(9.20)

где d_i² - квадраты разности рангов;
n - число наблюдений (число пар рангов).

Коэффициент Спирмена принимает любые значения в пределах от -1 до 1.

Определим зависимость между выпуском продукции и среднесписочной численностью работающих предприятий одного из акционерных обществ.

Таблица 9.2

Расчет коэффициента Спирмена

.

Зависимость выпуска продукции от среднесписочной численности работающих на предприятиях сильная.

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла вычисляется по формуле:

,

(9.21)

где n - число наблюдений;
S - сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:
1) значения x ранжируются в порядке возрастания или убывания;
2) значения y располагаются в порядке, соответствующем значениям x;
3) для каждого ранга y определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательностей рангов x и y. Она учитывается со знаком "плюс";
4) для каждого ранга y определяется число следующих за ним рангов, меньше его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком "минус";
5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.

Связь между признаками считается статистически значимой, если значение рангового коэффициента корреляции больше 0,5.

Рассмотрим расчет коэффициента корреляции рангов Кендалла (таб. 9.2)

Р = 7 + 6 +5 + 3 + 3 +2 + 1 = 27
Q = 0 + 0 + 0 + (-1) + 0 + 0 + 0 = -1.

Таким образом,

.

Это свидетельствует о сильной связи между изучаемыми признаками.
Множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) - применяется для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков. Он вычисляется по формуле:

,

(9.22)

где m - количество факторов;
n - число наблюдений;
S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.

Коэффициент принимает любые значения в пределах от -1 до 1.

Проведем расчет коэффициента конкордации на примере данных таблицы 9.3.

Таблица 9.3

Расчет коэффициента конкордации

Связь между изучаемыми факторами сильная.

Ранговые коэффициенты корреляции Спирмена, Кендалла и конкордации имеют то преимущество, что с помощью их можно измерять и оценивать связи как между количественными, так и между качественными признаками, поддающимися ранжированию.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: