|
Данные для расчета квадратического отклонения
Масса кипы шерсти, кг
| Отклонение от средней
( =96 кг)
| Квадраты отклонений
(х-ха)2
|
| -10(86-96)
|
|
| -6
|
|
| -2
|
|
|
|
|
| +4
|
|
| +14
|
| ИТОГО
|
| Что характеризует полученное квадратическое отклонение?
Масса отдельных кип шерсти отклоняется от средней (96 кг) в одних случаях на большую величину, в других— на меньшую. В среднем это отклонение от средней составляет ±7,7 кг. Из этих данных видно и другое: простое среднее квадратическое отклонение выражается в тех же именованных числах, что и средняя величина. Поэтому оно составляет так называемое абсолютное отклонение от средней величины. По данным примера рассчитаем также среднее квадратическое отклонение (взвешенное) для характеристики ряда распределения с неравными частотами. Для этого примем во внимание количество отгруженных кип, которые будут составлять частоты(f).
Расчет производим по формуле:
Построим расчетную таблицу (табл. .14).
Сначала определяем среднюю арифметическую взвешенную:
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение (взвешенное):
Расчетные данные для определения взвешенного квадратического отклонения
Масса кипы шерсти (x). кг
| Количество отгружен-ных единиц кип (f)
| Общий вес отгруженной шерсти(xf). кг
| Отклонение от средней арифметической взвешенной
( ), кг
| Квадраты отклонений
Кг2
| Произведение квадратов отклонений от средней навеса
|
|
|
| -10,3=(86-96,3)
-6,3
-2,3
-0,3
+3,7
+13,7
| 106,1
39,69
5,29
0,09
13,69
187,69
| 1061 =(106,1x10)
793,8
52,9
2,7
205.4
2815,4
| ИТОГО
|
| 9630=
| -
| -
| 4931,2 =
| Следовательно, средняя колеблется в пределах 96,3 кг ±7,0 кг.
К вопросу 7. Коэффициент вариации
До сих пор мы изучали показатели, которые были выражены в абсолютных величинах, т. е. в тех же именованных числах, что и варьирующий признак (в данном примере — в килограммах).
Однако квадратическое отклонение, как и всякая абсолютная величина, недостаточно наглядно характеризует колеблемость вариант вокруг средней величины.
О том, насколько велико это отклонение, можно судить только при расчете коэффициента вариации.
Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической и выражается в процентах.
Коэффициент вариации рассчитывается по формулам:
а) для среднего квадратического отклонения (простого):
и в нашем примере составит:
б) для среднего арифметического отклонения (взвешенного):
т.е.
Коэффициент вариации является отвлеченным числом и поэтому он наиболее удобен в измерении вариации признаков.
Кроме того, этот показатель можно использовать для сравнения колеблемости совокупностей как с одинаковыми, так и с различными признаками.
Пример. Предположим, что мы определяем колеблемость веса одной кипы шерсти по двум партиям путем сравнения коэффициентов вариации I и II партий. Это будет сравнение колеблемости совокупностей, имеющих одинаковые признаки. Или, например, требуется сравнить, что больше колеблется: средний объем товарооборота одной торговой фирмы или средний размер площади торгового зала, т. е. сравниваем совокупности с разными признаками и определяем степень колеблемости этих различных признаков путем вычисления коэффициентов вариации.
Дисперсия
Дисперсия — это средний квадрат отклонения всех значений признака ряда распределения от средней арифметической.
Именно дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются основными наиболее употребляемыми показателями вариации.
Обозначается дисперсия буквой
где х — значение признака;
- средняя арифметическая;
п — численность совокупности.
Но
Поделив это выражение на п, учтем, что . Тогда
т. е. дисперсия равна разности среднего квадрата вариантов и квадрата их средней (подразумевая здесь под "средней" среднюю арифметическую). И, наконец,
Заменяя в формуле определения дисперсии (Dx) среднее суммами, разделенными на численность совокупности, получим формулу:
имеющую некоторые технические преимущества для ее вычисления. При ее применении округление производится только один раз и в самом конце вычисления.
Пример. В табл. 15 приведены данные для расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения на примере стажа продавцов торговой фирмы "Элегант", работающих в двух ее магазинах.
Для 1-го магазина:
Таблица.15
Данные для расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения по стажу продавцов в двух магазинах фирмы "Элегант"
п/п
| 1-й магазин
| 2-й магазин
| Стаж продавцов, лет
(x)
| отклонения от среднего
| Квадрат отклонения
| Стаж продавцов, лет
(x)
| отклонения от среднего
| Квадрат отклонения
|
|
| -6,2
| 38,44
|
| -1,2
| 1,44
|
|
| -5,2
| 27,04
|
| -1,2
| 1,44
|
|
| -4,2
| 17,64
|
| -0,2
| 0,04
|
|
| -4,2
| 17,64
|
| -0,2
| 0,04
|
|
| -3,2
| 10,24
|
| -0,2
| 0,04
| б
|
| 1,8
| 3,24
|
| -0,2
| 0,04
|
|
| 2,8
| 7,84
|
| 0,8
| 0,64
|
|
| 4,8
| 23,04
|
| 0,8
| 0,64
|
|
| 2,8
| 33,64
|
| 0,8
| 0,64
|
|
| 7,8
| 60,84
|
| 0,8
| 0,64
| Итого
|
|
| 239,60
|
|
| 5,6
|
Таким образом, стаж продавцов отклоняется от среднего для первого магазина на 4,9 года, а для второго магазина — 0,75 года. Формула дисперсии для вариационного ряда с вариантами х и частотами/будет иметь вид:
где х — значение признака; — средняя арифметическая; f— частота.
Свойства дисперсии
Дисперсия обладает рядом простых свойств:
1. D(a) = 0 — дисперсия постоянной величины равна нулю.
2. — дисперсия не меняется, если все варианты увеличить или уменьшить на одно и то же число.
3. — постоянный множитель выносится за знак дисперсии возведенным в квадрат. Или: если все варианты умножить на число а, дисперсия увеличиться в раз.
— это свойство носит название свойства минимальности дисперсии от средней. Дисперсия от средней меньше, чем средний квадрат отклонения от любого числа на .
Использование свойств дисперсии позволяет упрощать ее расчеты, особенно в тех случаях, когда вариационный ряд составляет арифметическую прогрессию или имеет равные интервалы. В этих случаях сначала находят дисперсию от условного нуля, а затем используют 4-е свойство дисперсии, переходят к дисперсии от средней.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|