Средняя гармоническая (СГ).

Средняя величина есть обобщающая количественная характеристика однородных явлений по какому-либо варьирующему признаку.

Применение средних величин позволяет охарактеризовать определенный признак совокупности одним числом, несмотря на количественные различия единиц по данному признаку внутри совокупности.

Следовательно, средняя величина есть обобщающая характеристика совокупности; средняя величина выражает типичное свойство совокупности; средняя величина — величина абстрактная, а не конкретная, так как в ней сглаживаются отдельные значения единиц совокупности, имеющие отклонения в ту и другую сторону; реальность средней величины достигается, если она вычисляется из одной совокупности.

Пользуясь средними величинами при анализе массовых явлений, необходимо всегда помнить, что часто в средней величине скрываются отстающие хозяйствующие субъекты, которые имеют низкие показатели своей деятельности и, наоборот, не выявляются фирмы, компании, предприятия и т. д., которые работают весьма эффективно. Это возможно, как уже говорилось выше, в связи со свойством средней, в которой отклонения отдельных значений признака от ее величины взаимно погашаются. (Так, например, при условии выполнения плана розничного товарообо­рота в целом по холдингу, занимающемуся продажей товаров, часть фирм, входящих в него, не выполнила план и, наоборот, другая часть перевыполнила план товарооборота.) Поэтому, кроме средней, следует использовать и отдельные индивидуальные показатели работы фирм, входящих в холдинг.

В эк. практике исп.-ся широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Напр, обобщающим показателем доходов рабочих АО служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда з/п и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО.

Вычисление среднего –один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокуп­ности, в то же время он игнорирует различия отдельных еди­ниц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от колич. значений признака в каждом конкретном случае. В способно­сти абстрагироваться от случайности отдельных значений, ко­лебаний и заключена научная ценность средних как обобщаю­щих характеристик совокупностей.

Там, где возникает потребность обобщения, расчет таких характеристик приводит к замене множества различных инд. значений признака средним показателем, характери­зующим всю совокупность явлений, что позволяет выявить закономерности, присущие массовым общ. явлениям, незаметные в единичных явлениях.

Средняяотражает характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изменения во времени и в пространстве; это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в к-рых он протекает.

Выбор вида средней определяется эк. содер­жанием определенного показателя и исходных данных.

1)- Класс степенных средних - арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д. Помимо степенных средних в с/практике используются

2) Структурные средние - применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана..

Средняя хронологическая

Средняя хронологическая — это средний уровень ряда динамики, т. е. средняя, исчисленная по совокупности значений показателя в разные моменты или периоды времени. В зависимости от вида ряда динамики применяются различные способы ее расчета, а именно расчет средней хронологической интервального ряда и средней хронологической моментного ряда.

где — средний уровень ряда;

у — уровень ряда динамики;

n — число членов ряда.

Средней хронологической моментного ряда является средняя величина из уровней моментного ряда динамики. Если f(t) есть функция, выражающая изменение моментного показателя во времени, то за время (t) от а до b средняя хронологическая моментyого ряда равна:

Однако данных непрерывного наблюдения значения f(t) в распоряжении статистики, как правило, нет. Поэтому в зависимости от характера изменения показателя и имеющихся данных применяются различные методы расчета. При равных промежутках времени между датами, на которые имеются данные, и равномерном изменении размера показателя между датами средняя хронологическая мо­ментного ряда обычно исчисляется по формуле:

где у — уровень ряда; n — число всех членов ряда; — средний уровень.

Если периоды времени, отделяющие одну дату от другой, не равны между собой, то расчет средней хронологической моментного ряда производится по формуле средней взвешенной арифметической, в качестве весов которой принимаются отрезки времени между датами, т. е. по формуле:

Известно, например, что в январе 2007 года произошло следующее изменение численности сотрудников компании "Бест": было на 1 января 551 чел., уволился 2 января один сотрудник, было принято 6 января 24 человека, 16 января— 6 человек, уволилось 25 января— 10 сотрудников. Требуется определить среднюю численность сотрудников компании "Бест" в январе 2007 г. Рассчитаем число календарных дней, в течение которых численность сотрудников компании "Бест" оставалась без изменения, и произведение этих чисел.

Таблица 5

Данные для расчета средней численности сотрудников компании "Бест"

Используя данные произведенных расчетов, получим:

В отличие от первого способа расчета средней хронологиче­ской моментного ряда второй способ дает точное значение средней.

Средняя гармоническая (СГ).

СГ применяется в тех случаях, когда частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомно­жителями в один из имеющихся показателей.

Пример. Автомобиль доставил товары в три магазина фирмы "Весна", которые удалены от головного предприятия на одинаковое расстояние. Так, до первого магазина, расположенного на шоссейной дороге, автомобиль прошел путь со скоростью 50 км/ч, до второго, по проселочной дороге, — 40 км/ч, а в третьем случае автомобилю пришлось полпути пройти через лесной массив, и скорость движения составила только 30 км/ч.

Требуется определить среднюю скорость движения автомобиля. На первый взгляд представляется, что средняя скорость • движения может быть определена по формуле простой арифметической:

Однако нетрудно убедиться, что средняя вычислена непра­вильно. В самом деле, производя расчет средней скорости по про­стой арифметической средней, исходим из того, что автомобиль во всех трех случаях прошел одинаковое расстояние, пройдя соответ­ственно 50, 40 и 30 км, т. е. всего 120 км. Если бы условие этой за­дачи было сформулировано в такой форме, то средняя была бы рас­считана правильно и характеризовала бы пройденное автомобилем среднее расстояние.

В действительности же эта средняя рассчитана неверно, так как «в условия задачи не следует, что автомобиль на преодоление рас­стояния до трех магазинов фирмы "Весна" проехал 120 км, так как Скорость движения была различная. Следовательно, он прошел и разное расстояние.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется СГ простая, ис­числяемая по формуле:

или в сокращенном виде

где —средняя гармоническая; — числа, обратные заданным вариантам.

Иначе говоря, СГ простая отношение числа вариантов к сумме обратных значений этих вариантов.

Для нашего примера будем иметь:

В нашем примере СА (х_а) оказалась больше средней гармонической .

При этом абсолютная ошибка завышениясоставляет — 2 км/ч (38 - 40), а относительная —5%

Т.о., неправильное использование СА привело бы к завышению средней скорости движения автомобиля и к неправильному определению объема перевозок. Это еще раз доказывает, с какой осторожностью следует решать вопрос о том, какую среднюю надлежит применять в экономических расчетах.

 

В рассмотренном примере частоты (веса) имели одно значение и равнялись единице. Если же частоты (веса) различные, то применяется СГ взвешенная,которая вычисляется следующим образом:

 

Где - СГ взвешенная:

Как первая, так и вторая формулы показывают, что СГ есть величина обратная СА.

Веса арифметической средней и гармонической средней обо­значены разными буквами: f и m. Это не случайно, так как весами СА служат частоты рассматриваемого ряда, а весами СГ будет произведение вариантов на веса.

Пример. Рассмотрим данные о реализации товаров по двум магазинам фирмы "Весна" (табл. 6). Таблица .6

Данные о реализации товаров по двум магазинам фирмы "Весна"

Магазины	Цена товара (х), руб.	Количество реализованного товара (f), кг	Товарооборот (m=xf), руб.
№ 1	20,0
№ 2	18,0
ИТОГО	—

 

Из условия задачи видно, что количество реализованного това­ра, принимается за вес, который обозначается через букву f Товарооборот— произведение цены на количество товара: полученный таким образом вес обозначается через т.

Для определения средней цены реализованного товара, исходя из условий задачи, можно применить в одном случае арифметическую, в другом — гармоническую взвешенную. Если при вычислении средней цены в качестве веса брать количество проданного товара (f), то решение производят по арифметической взвешенной:

Если же в качестве веса используется товарооборот (го), для расчета средней цены нужно применить среднюю гармоническую:

Следовательно, выбор формулы средней (гармонической или арифметической) зависит от так называемого определяющего показателя.

 

Определяющим показателем называется показатель, который получает реальное экономическое значение при умножении вариантов на веса или при делении весовна варианты.В нашем примере в первом случае при перемножении вариантов на веса (xf) получается сумма товарооборота, т. е. реальная экономическая величина. Поэтому для расчета средней цены применяют СА взвешенную.

Во втором случае перемножение вариантов на веса (х • т), т. е. цены товара на товарооборот, никакого реального показателя не дает, а получается бессмыслица. Поэтому во втором случае веса делят на варианты . Частное от деления товарооборота на цену показывает количество реализованного товара и имеет реальный эк. смысл. В этом случае применяется СГ взвешенная.

 

 

Когда с/информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение xf, применяется формула СГ взвешенной. Чтобы исчислить среднюю, обозначим x*f = w, откуда f = w/x. Теперь преобразуем формулу СА таким образом, чтобы по имеющимся данным х и w можно было исчислить среднюю. В формулу СА взвешенной (2) вместо xf подста­вим w, вместо f – отношение w/х и получим формулу СГ взвешенной:

Из формулы (7) видно, что средняя гармоническая – средняя взвешенная из варьирующих обратных значений при­знака. Она является преобразованной формой арифметической средней и тождественна ей. Вместо гармонической всегда мож­но рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака, скрытые в весах СГ.

(7)

 

Т.о., СГ применяется то­гда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w = xf, т.е. в тех случаях, когда средняя предназначается для расчета сумм слагаемых, обратно пропорциональных величине данного признака, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины:

Например, по данным (табл. 5) требуется определить среднюю цену 1 кг картофеля.

Расчет средней цены производится следующим образом:

Определяющим показателем здесь является числитель этой логической формулы. Выручка от реализации w известна (числитель), а количество реализованных единиц – неизвестно, но может быть найдено как частное от деления одного показа­теля на другой, для чего нужно отдельно по каждому магазину разделить выручку на цену.

Тогда средняя цена 1 кг картофеля, руб., по трем ком­мерческим магазинам может быть исчислена по формуле (6) средней гармонической взвешенной:

Этот же результат получится и по средней арифметиче­ской взвешенной, если в качестве весов принять количество проданных единиц (которые необходимо предварительно рас­считать), руб.:

Полученная средняя цена 1 кг картофеля является реаль­ной величиной, ее произведение на все количество проданного картофеля дает общий объем реализации, выступающий в каче­стве определяющего показателя (5 700 руб.).

Исчисление СГ взвешенной по формуле (6) освобождает от необходимости предварительного расчета весов, поскольку эта операция заложена в саму формулу.

 

Средняя геометрическая.

Применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные ввиде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики, т.е. характеризует средний коэффициент роста.

СГисчисляется извлечением корня, степени n из произведений отдельных значений – вариантов признака х:

(9) где n – число вариантов; П – знак произведения, i = 1,2,…,n. Наиболее широкое применение СГ получила для определения ср.темпов изменения в рядах динамики, а также в рядах распределения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: