Уравнение состояния и передаточная функция

При любых видах управляющих устройств объект как правило непрерывный. Понятие цифрового управления часто используется в смысле управления в дискретные моменты времени каким-либо объектом, хотя, строго говоря, термин «цифровое управление» означает управление движением объекта цифровой вычислительной машиной с присущим ей эффектом дискретизации. При этом показатели эффективности и качества управления оцениваются по характеру движения системы в непрерывной временной области. Следовательно, объект системы цифрового управления можно рассматривать как непрерывную во времени систему.

Уравнение для выходной переменной формализовано представляется в виде:

, , , , (1.26)

где х(t) - n-мерный вектор переменных состояния,

u(t) - входное воздействие,

у(t) - выходная координата.

Параметры b_с, c_c для многомерных систем имеют вид матриц соответствующих размерностей, например Вс(n × m), Сс(р × n).

Применим прео6разование Лапласа к системе уравнений (1.26).

Обозначим такое преобразование функции x(t) как F⁺¹{x(t)} = X(s). Тогда преобразование Лапласа производной этой функции будет иметь вид:

В результате преобразования Лапласа обеих частей уравнения получим:

Это дает нам возможность представить систему уравнений на комплексной плоскости S в виде

Здесь U(s), Y(s) - преобразование Лапласа соответственно для функций u(t), у(t) (в случае многомерных систем преобразование Лапласа векторных функций осуществляется покомпонентно). Принимая х(0) = 0, из приведенных выше выражений получим:

Отношение называется передаточной функцией непрерыв­ной системы. Преобразовав обратную матрицу в вы­ражении, можно переписать передаточную функцию в виде

Выражение представляет собой правильную рациональную дробь, степень полинома знаменателя которой больше либо равна степени полинома числителя. Система с такой передаточной функцией называется собственной, или характеристической, системой. Корни полинома знаменателя передаточной функции

или, другими словами, собственные (характеристические) числа матрицы А_с, называются полюсами системы, а корни полинома числителя

нулями системы. Вводя понятие системной передаточной матрицы M_с(S) вида

можно отметить, что нули передаточной функции (2.5) совпадают с нулями полинома I .

Пример 1.3. Пусть имеется электрическая цепь, состоящая из после­довательно соединенных элементов: катушки индуктивности L, конденсатора емкостью С и активного сопротивления R. Па­дения напряжения на элементах такой электрической цепи v(t) и ток в контуре i(t) подчиняются зависимостям

, , (1.27)

Исходя из зависимостей (1.27) и закона Кирхгофа можно получить уравнение состояния для данной системы. Для этого, приняв за переменные состояния ток, протекающий через катушку индуктивнос­ти , и напряжение на обкладках конденсатора и обозначив ток в катушке индуктивности через Х₁ (t), а напряжение на обкладках кон­денсатора через Х₂(t), запишем уравнение баланса напряжений в виде:

(1.28)

где u(t) – напряжение на входе. Учитывая соотношение

Cdx₂(t)/dt = x₁(t) (1.29)

а)

б)

Рис 1.3. а) Электрический LCR контур, б)Пример механической системы

и приводя выражения (1.28) и (1.29) к нормальной форме Коши, получим уравнения состояния системы

и уравнение выхода системы

принимая в качестве выходной координаты напряжение на обкладках конденсатора

(У =Х₂).

Передаточная функции системы, будет иметь вид

Пример 1.4. Пусть имеется механическая система, представляющая собой груз массой М, закрепленный на пружине с коэффициентом упругости К и движущийся в вязкой среде с коэффициентом вязкого трения D. Инерционная сила (f_и), сила упругости (f_у) и сила вязкого трения (f_тр), действующие в системе, определяются соотношениями:

, ,

где х(t)- перемещение груза.

Принимая u (t) за приложенную к грузу внешнюю силу (внешнее воздействие), запишем уравнение динамики системы:

Обозначая перемещение через Х₁, а скорость перемещения через Х₂ и рассматривая их в качестве переменных состояния, на основании выражения (2) по аналогии с предыдущим примером получим уравнение состояния механической системы в виде:

и уравнение выхода системы

если в качестве выходной координаты считать перемещение груза X₁.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: