Простые и сложные проценты.

Временная стоимость денег. Операции наращения и дисконтирования.

Простые и сложные проценты.

Финансовые ренты.

Одним из ключевых понятий в финансовом управлении является понятие денежного потока как совокупности притоков и оттоков денежных средств, имеющих место через разные временные интервалы. При анализе денежных потоков в большинстве случаев его элементы не могут быть просуммированы непосредственно: должна быть учтена временная компонента.

Все денежные ресурсы, участвующие в финансовых операциях, имеют временную ценность: одна денежная единица, имеющаяся в данный момент времени, более предпочтительна, чем та же самая денежная единица, но ожидаемая к получению в некотором будущем.

Среди факторов, лежащих в основе временной стоимости денег, выделяют: инфляцию, риски, альтернативную стоимость капитала, индивидуальные предпочтения инвесторов.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV.

PV (Present Value) – стоимость в настоящий момент или сегодняшняя, дисконтированная, приведенная, текущая, настоящая стоимость.

FV (Future Value) – будущая или наращенная стоимость.

Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко. Во-первых, с помощью абсолютного показателя – прироста I = FV - PV, который называется процентными деньгами или процентом. Это величина дохода от предоставления в долг денежной суммы. Из определения процентных денег следует: FV = PV + I.

Во-вторых, путем расчета некоторого относительного показателя – ставки. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV, либо FV. Таким образом, ставка за время t рассчитывается по одной из двух формул:

. (1)

. (2)

В первом случае показатель называется «процентная ставка», «ставка процента», «рост», «норма прибыли», «доходность», а во втором – «учетная ставка» или «дисконт».

Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е., зная один показатель, можно рассчитать другой:

или . (3)

Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1) – исходная сумма, в формуле (2) – возвращаемая (ожидаемая сумма).

Кроме перечисленных показателей часто используют величину, называемую дисконт - фактором:

v_{t =} PV / FV. (4)

Он показывает, какую часть сумма PV составляет в сумме FV.

Удобной и наглядной характеристикой (особенно при оценке вклада) является индекс роста B_t суммы за время t:

B_{t =} FV / PV. (5)

Он показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма за время t.

Пример. Сумма PV = 2 тыс. руб. за полтора года выросла до FV = 4,6 тыс. руб. Вычислить

процентную и учетную ставку, индекс роста, дисконт-фактор.

Решение: 1) Из формулы (1) r_t = (4,6-2) / 2 = 1,3 или 130%

2) Из формулы (2) d_t = (4,6-2) / 4,6 = 0,57 или 57%

3) Из формулы (4) v_t = 2 / 4,6 = 0,43

4) Из формулы (5) B_t = 4,6 / 2 = 2,3

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина называется наращенной суммой, а ставка – ставкой наращения.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина называется приведенной суммой, а ставка – ставкой дисконтирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему.

Настоящее Будущее

Исходная сумма наращение Возвращаемая (наращенная)

Ставка (r_t) сумма

Приведенная сумма Ожидаемая сумма

дисконтирование Ставка (d_t)

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы (1) следует:

FV = PV (1 + r_t). (6) – процесс наращения (прямая задача).

Соответственно: PV = FV / (1+ r_t) – обратная задача

Из формулы (2) следует:

PV = FV (1 – d_t). (7) – процесс дисконтирования (прямая задача).

Соответственно: FV = PV / (1-d) – обратная задача.

Следует отметить, что в качестве ставки наращения может выступать как процентная, так и учетная ставка. Если наращенная сумма находится по формуле (6), то ставкой наращения является процентная ставка. С другой стороны, из формулы (7) следует: FV = PV / (1-d), поэтому в этом случае ставкой наращения является учетная ставка.

Как уже было сказано, движение денежных средств от будущего к настоящему носит название дисконтирования. Говорят, что капитал FV дисконтируется, а величину удержанных процентов называют дисконтом. Таким образом, дисконтирование является процессом, обратным наращению первоначального капитала. Экономический смысл дисконтирования заключается в нахождении такой величины капитала PV, которая через n лет при наращении по простым процентам по ставке r будет равна FV.

Пример: Предприятие получило кредит на один год в размере 50 тыс. руб. с условием

возврата 80 тыс. руб. Найти процентную и учетную ставки. Если предприятие за

взятый кредит через год должно вернуть 90 тыс. руб., то при учетной ставке 40%

найти величину кредита.

Решение: 1) r_t = (80 – 50) / 50 = 0.6 (60%)

2) d_t = (80 – 50) / 80 = 0.375 (37,5%)

3) Применяем формулу дисконтирования (7): PV = 90 (1 – 0.4) = 54

Простые и сложные проценты.

Для начисления процентов применяют либо постоянную базу начисления, либо последовательно изменяющуюся (за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют схему начисления по простому проценту.

Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность – r (в десятичных дробях). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если капитал ежегодно увеличивается на величину Рr. Таким образом, размер F инвестируемого капитала через n лет будет равен:

F = P + Pr + ….. Pr = P (1+nr), т.е.

F = P (1 + nr). (8)

Расчет по схеме простых процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает одни и те же процентные деньги.

Выражение (8) называется формулой наращения по простым процентам, а множитель (1+nr) – множителем наращения или коэффициентом наращения простых процентов.

Приращение капитала I = Pnr (9) пропорционально сроку ссуды и ставке процента.

В случае долгосрочного финансирования процентная ставка может изменяться во времени. Особенно важно предусмотреть в кредитном договоре не фиксированную, а меняющуюся процентную ставку (например, в условиях инфляции). Тогда формула (9) будет записана следующим образом:

F = P (1 + n₁r₁ + n₂r₂ + …. n_ir_i). (8a).

Если n<1, то величину срока, на который выдается кредит, выражают в виде дроби: n = t / Д_год,

где t – число дней пользования ссудой, Д_{год –} число дней в году (временная база).

Таким образом, в случае краткосрочного кредитования формула (8) будет записана так:

F = P (1+ (t / Д_год) r). (8в).

В практике определения суммы процентных денег используется и такой вариант, когда база для начисления процентов не остается постоянной, а увеличивается с течением времени, т.е. проценты не выплачиваются сразу после их начисления а присоединяются к основной сумме долга и на вновь полученную сумму начисляются проценты. Пусть проценты за весь период начисляются по постоянной ставке r. В этом случае процесс наращения денег происходит по геометрической прогрессии и равен:

F = P (1 + r) ⁿ. (10)

Расчет по схеме сложных процентов на основе годовой процентной ставки заключается в том, что кредитор за каждый год предоставленного кредита получает процентные деньги от всей накопленной суммы долга (с учетом процентных денег).

Выражение (10) называют формулой наращения по сложным процентам, а величину (1 + r) ⁿ – множителем наращения сложных процентов.

Если в кредитном договоре на определенные периоды оговорены меняющиеся процентные ставки, формула наращенной суммы при использовании сложной процентной ставки будет иметь вид:

F = P (1 + r ₁) ⁿ¹ (1 + r₂) ⁿ²……(1 + r_i) ⁿⁱ (10a).

Проиллюстрировать понятие сложных процентов можно на примере следующей ситуации. Предположим, что клиент банка на основании соглашения с банком поместил в начале года на депозитный счет сумму Р на срок один год при условии начисления простых процентов с годовой процентной ставкой r. В соответствии с формулой (8) по истечении года на счете образуется сумма P (1+r), которую клиент снимает со счета и снова помещает на депозит с теми же условиями (реинвестирует сумму вместе с процентными деньгами). При этом по истечении второго года на счете образуется сумма P (1 + r) ² , по истечении третьего года - сумма P (1 + r) ³ и т.д. Таким образом, при инвестировании (капитализации) происходит наращение суммы депозита по схеме сложных процентов.

Схема начисления сложных процентов была введена для того, чтобы не усложнять жизнь клиентов и работу банков процедурой регулярного снятия с депозитного счета и размещения на депозитном счете одной и той же денежной суммы.

Пример: Пусть Р = 10000, r = 10%, n₁ = 0.5, n₂ = 1, n₃ = 1,5. Какова будет плата за кредит

при расчете по схеме простых и сложных процентов? Какая из схем начисления

более выгодна кредитору?

Решение: 1) Рассчитаем сумму, подлежащую возврату, по схеме простых процентов.

F = P (1 + nr)

F₁ = 10000 (1 + 0.5*0.1) = 10500

F₂ = 10000 (1 + 1*0.1) = 11000

F₃ = 10000 (1 + 1.5*0.1) = 11500

2) Рассчитаем сумму, подлежащую возврату, по схеме сложных процентов:

F = P (1 + r) ⁿ

F₁ = 10000 (1 + 0.1)^0.5 = 10488

F₂ = 10000 (1 + 0.1) ¹ = 11000

F₃ = 10000 (1 + 0.1) ^1.5 = 11537

Вывод: В случае, когда кредитор выдает деньги в долг на срок 1 год, расчеты по схемам простых и сложных процентов приводят к одному и тому же результату.

Если срок возврата долга превышает один год, то расчет по схеме сложных процентов более выгоден кредитору. Если срок возврата долга меньше одного года, то расчет по схеме простых процентов более выгоден заемщику.

Ни одна из схем начисления процентов не является универсальной и пригодной и пригодной на все случаи жизни, т.е. нельзя определенно и однозначно отдавать приоритет той или иной схеме – все зависит от конкретных обстоятельств.

Внутригодовые процентные начисления.В банковской практике капитализация процентов может производиться несколько раз в год – ежемесячно, ежеквартально, по полугодиям и т.д. Число раз начислений процентов обычно фиксируется в условиях финансового соглашения. Такое кратное наращение возможно только в схеме сложного процента. Обозначим это число m (показывает, сколько раз в течение года происходит начисление процентов: m = 2 – два раза в год, m = 12 – ежемесячно и т.д.). Тогда формула наращенного капитала за n лет при m-кратном начислении процентов в год примет вид:

F = P (1 + r / m) ^nm . (11),

где nm –количество периодов начисления процентов за n лет.

Пример: В банк вложены деньги в сумме 5 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением

процентов под 20% годовых. Найти наращенный капитал. Изменится ли величина

капитала к концу двухлетнего периода, если проценты будут начисляться

ежеквартально?

Решение: Из формулы (11) F = 5000 (1+0,2/2) ^2*2 = 7320,5 (при m = 2)

При m = 4: F = 5000 (1+0,2/4) ^2*4 = 7387,3

Для сравнения финансовых операций с различными величинами процентных ставок и разной кратностью начисления процентов применяется эффективная ставка r_{ef .} Это годовая ставка сложных процентов (т.е. начисляемая за год лишь один раз), которая обеспечивает тот же финансовый результат, что и начисление сложных процентов несколько раз в году (r / m).

Определяется по формуле:

r_ef = (1+ r / m) ^m – 1. (12)

В отличие от эффективной ставки первоначальная ставка с m-кратным начислением называется номинальной.

Пример: Предприниматель может получить ссуду по ставке 26% годовых с ежемесячным

начислением процентов или по ставке 27% годовых с начислением процентов два

раза в год. Какой вариант более предпочтителен для предпринимателя?

Решение: Рассчитаем эффективную ставку по формуле (12) для обоих вариантов.

1) r_ef = (1+0,26/12)¹² – 1 = 0,2933 или 29,33%

2) r_ef = (1+0,27/2)² – 1 = 0,2882 или 28,82%

Вывод: для предпринимателя более выгодным является второй вариант, т.к. процентная

ставка получилась ниже.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: