Типовые задачи с решениями
Задача 1.На вклад начисляются сложные проценты: 1) ежегодно; 2) ежеквартально; 3) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?
Решение
1) Обозначим через ежемесячный (т.е. за 1/12 года) индекс инфляции, тогда и при к=12 находим индекс инфляции за год:
Пусть г - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда значение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, находится из равенства (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:
Реальное наращение капитала будет происходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.
2) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, пользуемся равенством :
, поэтому:
Реальное наращение капитала будет происходить при ежеквартальном начислении процентов по ставке не меньше, чем 37,09% годовых.
3) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством
,откуда:
Реальное наращение капитала будет происходить при ежемесячном начислении сложных процентов по ставке, не меньше, чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относительный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это же время. Следовательно, , поэтому
Задача 2.Номинальная процентная ставка, компенсирующая действие инфляции, равна 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.
Решение
Приравняем годовой индекс инфляции к множителю наращения за год. Полагая , получим :
Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит :
Темп инфляции α находим из условия .
Темп инфляции за полгода равен 27,69%.
Задача 3.На вклад в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция за это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10 процентов. Какова должна быть сила роста за год, чтобы покупательная способность вклада не уменьшилась?
Решение
Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй - 1,2 и за третий - 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит:
1,15×1,12×1,1=1,518
Пусть s - сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю наращения за это же время, получим : , поэтому
Сила роста должна превышать 13,91% за год.
Задача 4.На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: 1) по схеме сложных процентов; 2) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?
Решение
1) Так как темп инфляции за каждый квартал равен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) составит:
Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:
(1+r)1,25 =1,4693.
Отсюда:
Ставка должна превышать 36,05% годовых.
При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой темп инфляции составит 1,084-1=0,3605=36,05%. Реальное же наращение капитала будет происходить, если годовая процентная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. г > 36,05%.
2) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r :
(1+r).(1+0,25r)= 1,4693
Решая уравнение, определяем корни: r = -5,3508, r =0,3508.
Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следовательно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. «Граничное» значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.
Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном случае необходимо фактически решить неравенство:
(1+r)(1+0,25r)>1,4693
Задача 5. На вклад 280 тыс. руб. ежеквартально начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции – 0,5 % в месяц.
Решение
При наращении сложными процентами при ежеквартальном начислении процентов сумма вклада составит :
Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в месяц составит
Величина вклада с точки зрения ее покупательной способности равна
Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:
Задача 6. Кредит на сумму 120 тыс.руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления сложных ссудных процентов. Индекс цен за указанный период равен 2,5. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 10% годовых? Рассчитайте сумму к погашению с учетом инфляции.
Решение
По формуле (7.5) при m=1; r=0,1;I=2,5;n=3
=0,4923
Поэтому ставка 49,23% при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен 2,5 обеспечит реальную доходность кредитора 10% годовых.
Сумму к погашению с учетом инфляции находим по формуле (3.1) (Занятие 3) при n=3; r=0,4923;P=121
F=120(1+0,4923)3 =399,3
Сумма к погашению с учетом инфляции равна 399 300 руб.
Задачи для подготовки к занятию
Задача 1.На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 2 %?
Задача 2.На некоторую сумму, помещенную на депозит в банк, в течение 8 лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время каждый год будет составлять 1%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма вклада через восемь лет по своей покупательной способности не уменьшилась?
Задача 3.На вклад в 500 тыс. руб. каждый квартал начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 4%. Оцените сумму вклада через 3 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции –1 % за квартал.
Задание на практическое занятие 7. Начисление процентов в условиях инфляции
Контрольные вопросы
1. Как определяется и что характеризует темп инфляции?
2. Почему в условиях инфляции необходимо различать номинальную и реальную процентную ставки?
3. Может ли реальная процентная ставка быть отрицательной?
4. Что определяет формула Фишера?
Задача 1.На вклад начисляются сложные проценты а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Вычислить годовую номинальную процентную ставку, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 2%.
Задача 2.Номинальная процентная ставка, компенсирующая при наращении инфляцию, составляет 48% годовых. Определите инфляцию за квартал, если начисление сложных процентов осуществляется каждый месяц.
Задача 3.На некоторую сумму, помещенную на депозит в банк, в течение 4 лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время каждый год будет составлять 6%,7%,8% и 9%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма вклада через четыре года по своей покупательной способности не уменьшилась?
Задача 4.На вклад в 900 тыс. руб. каждые полгода начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 8%. Оцените сумму вклада через 1,5 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции –0,5 % за квартал.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|