Вопрос 19. Общая формулировка теории плоских свободных волн.

Рассмотрим основные положения теории поверхностных гравитационных волн на свободной поверхности жидкости в водоеме конечной глубины. Жидкость считается идеальной.

Интегрируя уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости за бесконечно малый промежуток времени, можно показать, что проекции скорости V_x, V_y, V_z определяются частными производными по координатам x,y,z, т.е. удовлетворяют условию потенциальности движения жидкости. Следовательно, волновое движение является потенциальным. Физическим подтверждением этого является принцип сохранения вихрей в идеальной жидкости.

Таким образом, для решения задачи о волновом движении, необходимо найти потенциал скорости волнового движения φ, представляющего собой функцию координат – φ(x,y,z,t).

Примем начало координат на плоскости, совпадающей со свободной поверхностью жидкости, ось z направлена вертикально вверх.

В этом случае потенциал соответствует уравнению Лапласа:

(7.5)

Это позволяет вычислить все характеристики волнового движения, поле скоростей и давлений.

Для решения уравнения неразрывности необходимо выполнение кинематических и динамических граничных условий. Кинематические условия составляются для свободной поверхности и твердых границ водоема.

z_в – ординаты свободной поверхности;

z_в=а(f(x,y,z) уравнение свободной поверхности волн. Ее вид неизвестен и должен быть определен. На ней устанавливаются граничные условия: p=const и z= z_в.

Рисунок 36.

Для частиц на свободной поверхности проекция скорости частиц на ось z может быть вычислена по формуле:

(7.6)

Выведем граничные условия на дне и свободной поверхности жидкости.

1. Кинематические граничные условия:

Учитывая, что z_в – сложная функция от координат и независимой переменной t, полную производную можно записать в следующем виде:

Так как для точек свободной поверхности , и с учетом того, что при потенциальном движении , , , то уравнение (7.6) можно записать в следующем виде:

при

(7.7)

На твердых границах водоема должно выполняться условие непротекания: и .

В точках горизонтального дна

(7.8)

2. Динамическое граничное условие:

Динамическое граничное условие на свободной поверхности соответствует постоянному давлению, равному атмосферному p₀. При неустановившемся потенциальном движении давление определяется интегралом Лагранжа:

В этом уравнении , включая p и C(t) в потенциал скорости φ с учетом того, что эти величины не зависят от координат и поэтому не влияют на поле скоростей. Тогда на основании интеграла Лагранжа с учетом получим:

(7.9)

Условия (7.7), (7.8), (7.9) представляют собой математическую формулировку закона о свободных гравитационных волнах конечной амплитуды. Граничные условия 1 и 3, выполняемые на заранее неизвестной криволинейной волновой поверхности, содержат произведения и квадраты искомых величин, поэтому сформулированная задача является нелинейной и служит основанием для разработки нелинейной теории волн конечной амплитуды. Математически эта теория чрезвычайно сложна.

Упростим условия на свободной поверхности, с учетом малости амплитуды волн, т.е. малости производных и .

1. Т.к. , то углы волнового склона α_в малы, следовательно

В результате уравнение (*) преобразуется в уравнение:

(7.10)

- свободную поверхность считаем плоской – первое граничное кинематическое условие.

2. Второе кинематическое граничное условие неизменно:

(7.11)

3. Скорости движения частиц жидкости в волнах малой амплитуды также можно считать малыми: - малы, а их произведения и квадраты еще меньше (второй порядок малости), поэтому уравнение (7.9) – третье динамическое условие на свободной поверхности будет иметь вид:

(7.12)

И из него можно найти

Дифференцируя это выражение по t, получим:

И подставив результат в (7.10), получим:

(7.13)

Таким образом, объединили первое динамическое и кинематическое граничные условия. Полученные граничные условия (7.11) и (7.13) являются линейными по отношению к искомой функции φ. Полученные граничные условия в сочетании с уравнением Лапласа формулируют линейную теорию волн, которую также называют теорией волн малой амплитуды.

Применение этой теории позволяет пренебречь квадратами скорости в интеграле Лагранжа. Включая потенциал C(t) также в потенциал скорости φ можно вычислить избыточное давление в любой точке жидкости – т.е. узнать закон распределения давлений.

Закон распределения давлений в волне запишется следующим образом:

где: p- давление на глубине z;

p₀ – давление на свободной поверхности.

Рассмотрим плоские волны - когда образующие волновой поверхности являются прямыми линиями и картина волнового движения одинакова во всех плоскостях, совпадающих с направлением распространения волн.

В плоскости XOZ уравнение Лапласа будет иметь вид:

(*)

Граничное условие на поверхности:

На дне:

Ординаты свободной поверхности:

Эти уравнения являются основными уравнениями линейной теории.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: