Вопрос 5. Уравнения Рейнольдса.

Изменение во времени и пространстве осредненных скоростей может быть изучено с помощью основных законов гидромеханики, рассмотренных ранее. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в напряжениях имеют следующий вид:

(2.8)

Перепишем первое уравнение системы (2.8), представив ускорение в следующем виде:

	(2.9)

Преобразуем сумму конвективных составляющих следующим образом:

(2.10)

Для преобразования этих уравнений для турбулентного режима необходимо не только скорости, но и напряжения представить в виде суммы средних значений их пульсаций (т.к. скорость связана с касательными и нормальными напряжениями).

В этих выражениях члены с чертой – осредненные значения величин, со штрихом – пульсационные нормальные и касательные напряжения. Такое преобразование впервые было предложено Рейнольдсом.

Осреднение функций производится по формуле:

При этом период осреднения T предполагается таким, что последующее осреднение по времени не приводит к изменению осредненной величины.

Если в результате осреднения, проведенного в данной точке, в различные моменты времени будут получаться одни и те же значения функции, осредненное движение может рассматриваться как стационарное, и само турбулентное движение называется квазистационарным.

Рассмотрим правила осреднения:

1). - осредненная пульсационная скорость равна нулю.

Для квазистационарного турбулентного движения есть функция только координат.

2). осредненное произведение двух функций – осредненной и пульсационной равно произведению осредненных функций.

3). Осредненная производная от функции f равна производной от осредненной функции:

и

Применим правила осреднения к уравнению (2.9) и учтем :

	(2.11)

Подставим мгновенные скорости и напряжения через осредненные и пульсационные:

В правой части:

, т.к. и

Аналогично:

, т.к. , т.к.

Осредненные пульсационные скорости и осредненные пульсационные напряжения: , , , .

Сделаем подстановку в уравнения (2.11):

(2.12)

Учитывая, что осредненное турбулентное течение должно удовлетворять условию неразрывности

Перенесем три слагаемых из левой части уравнения (2.12) в правую и объединения производных получим:

(2.13)

Уравнения (2.13) называются уравнениями Рейнольдса для осредненного турбулентного движения несжимаемой жидкости.

Эти уравнения показывают, что в осредненном турбулентном потоке к обычным вязкостными напряжениям гидродинамических сил добавляются напряжения, зависящие от пульсаций скорости. Эти слагаемые называются турбулентными напряжениями. Физическая причина их возникновения связана с обменом количеством движения между отдельными участками турбулентного потока, вызванными перемешиванием частиц. Перенос количества движения вызывает дополнительное подтормаживание или ускорение отдельных масс жидкости, т.е. появление турбулентных напряжений.

Полная совокупность турбулентных нормальных и касательных напряжений образует по аналогии с вязкостными напряжениями симметричную матрицу турбулентных напряжений:

(2.14)

Таким образом, в уравнениях движения появилось дополнительно шесть новых неизвестных турбулентных напряжений, для вычисления которых необходимо установить связь между пульсационными и осредненными скоростями в турбулентном потоке. Эту связь устанавливают теории турбулентности, основанные на различных гипотезах о характере процессов турбулентности. Все эти теории полуэмпирические, поскольку для получения из них числовых значений искомых величин необходимо знать некоторые величины, определяемые на основании экспериментов.

Для простейшего плоскопараллельного течения вдоль оси x получаем:

(2.15)

Т.е. полное касательное напряжение на площадке параллельной оси x равно сумме вязкостного напряжения, определяемого по гипотезе Ньютона, и турбулентного напряжения .

Турбулентное напряжение по гипотезе Буссинеска представляют в виде:

(2.16)

Тогда напряжение можно представить в следующем виде:

(2.17)

Т.е. величину можно рассматривать как кинематическую «турбулентную вязкость».

Величина в трубе в десятки тысяч раз превосходит величину молекулярной вязкости . Величина имеет очень малые значения вблизи стенки трубы, а затем растет до некоторого максимума примерно на половине радиуса трубы и снова достигает минимума на оси трубы. Вблизи стенки величина мала, т.к. стенка мешает разбегу частиц, а вблизи оси – т.к. градиент скорости мал.

Физически причина возникновения этих напряжений связана с обменом количества движения между отдельными участками турбулентного потока вследствие перемешивания жидких частиц. Перенос количества движения вызывает дополнительное притормаживание или ускорение отдельных масс жидкости т.е. появление турбулентных напряжений.

	Частицы из слоя 1 обладают большей скоростью и попадая в слой 2 ускоряют его. Частицы из слоя 2 имеют меньшую скорость и, попадая в слой 1, подтормаживают его.
Рисунок 8. Турбулентный обмен в жидкости

Т.е. наряду с касательными напряжениями, обусловленными молекулярным трением, в турбулентных потоках возникают дополнительные турбулентные напряжения.

Для вычисления турбулентных напряжений (неизвестные в уравнениях Рейнольдса) устанавливается связь между пульсационными и осредненными скоростями. Для этого используют полуэмпирические формулы теории турбулентности.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: