Вопрос 2. Гипотеза о нормальных и касательных напряжениях.

Вопрос 1. Напряжения и свойства напряжений внутренних сил в вязкой жидкости.

В реальной жидкости вязкость не равна нулю, следовательно, касательные напряжения также не равны нулю. Таким образом, в вязкой жидкости есть нормальные и касательные напряжения. Рассмотрим, как они действуют в вязкой жидкости.

Гидродинамические напряжения или давления в жидких точках вязкой жидкой среды не совпадают с нормалью к площадке действия, на которой находятся эти жидкие точки, вследствие наличия касательных напряжений. Поэтому давление в данной точке на площадке действия, ориентированной относительно нормали n, будет складываться из трех составляющих давлений соответственно направлению осей.

Выделим в движущейся вязкой жидкости элементарный жидкий объем в виде тетраэдра.

	- гидродинамические напряжения поверхностных сил. Будем стягивать тетраэдр в точку. В этом случае действием массовых сил можно пренебречь и записать условия равновесия в виде: Индекс у силы означает направление нормали к площадке. δSx , δSy ,δSz, δSn - площадки перпендикулярные соответствующим осям.
Рисунок 1. К определению гидродинамических напряжений

Отнесем проекцию каждой элементарной площадки к площади нормальной проекции:

В свою очередь каждое гидродинамическое напряжение можно спроецировать на координатные оси:

Таким образом, имеем 9 независимых гидродинамических напряжения в которых первый индекс означает перпендикулярно к какой площадке оно действует.

Второй значок означает ось, на которую спроецировано напряжение.

p_xx, p_yy, p_zz – нормальные напряжения.

Остальные – называются касательными напряжениями – τ.

и т.д.

Напряжения внутренних сил представляют собой матрицу вида:

На гранях элементарного жидкого объема в виде параллелепипеда это выглядит следующим образом:

	Эта матрица симметрична относительно главной диагонали. τxy=τyx, τxz=τzx τyz=τzy Таким образом, вместо одного давления появилось 6 независимых напряжений.
Рисунок 2. Расположение напряжений на гранях параллелепипеда

Вопрос 2. Уравнения движения вязкой жидкости в напряжениях.

Для получения дифференциальных уравнений выделим в движущейся жидкости элементарный жидкий объем произвольной формы и силы, которые действуют на этот объем. Для получения всех действующих в жидкости сил приравняем сумму всех сил к силе инерции – произведению ускорения на массу.

	На жидкий объем действуют массовые и поверхностные силы. - вектор напряжений массовых сил, (м/с2); - масса элементарного объема; - гидродинамическое давление (Па); - гидродинамические напряжения, распределенные по поверхности δS и компенсирующие давление отброшенного объема жидкости;
Рисунок 3. Действие сил на элементарный объем

- инерционная сила, возникающая при движении жидкости;

- вектор силы инерции (инерционное ускорение), (м/с).

Действие всех сил должно быть уравновешено, поэтому, используя интегральную форму записи, получим:

Переходя к пределам и производя интегрирование, получим:

Применим преобразование Остроградского-Гаусса:

В этом случае уравнение равновесия сил запишется в виде:

Такой интеграл равен 0, если подынтегральное выражение равно 0, что возможно в случае, когда все силы уравновешены.

Уравнение движения вязкой жидкости в векторной форме:

Для осей y и z соответственно.

Т. к. и

(1.1)

Уравнения (1.1) – уравнения движения вязкой жидкости в напряжениях.

В этой системе неизвестны: V_x, V_y, V_z; p_xx, p_yy, p_zz; τ_xy=τ_yx, τ_yz=τ_zy, τ_zx=τ_xz.

Таким образом, имеем 9 неизвестных в 4 уравнениях. Для решения этих уравнений необходимо совместное решение уравнения неразрывности в переменных Эйлера:

Система уравнений (1.1) является незамкнутой, поэтому для определения неизвестных функций необходимы дополнительные зависимости известные как гипотеза о нормальных и касательных напряжениях.

Вопрос 2. Гипотеза о нормальных и касательных напряжениях.

Гипотеза связывает напряжения и проекции скорости.

1. Гипотеза о нормальных напряжениях.

(1.2)

- коэффициенты скорости линейной деформации жидкой частицы.

p - среднее арифметическое из нормальных напряжений в заданной точке на трех взаимно перпендикулярных площадках.

- без учета сил вязкости.

p – среднее давление, зависящее от координат – p(x,y,z) – это давление действующее по внутренней нормали к площадке действия, аналогичное давлению в идеальной жидкости.

μ – динамический коэффициент вязкости;

2. Гипотеза с касательных напряжениях.

Устанавливает их связь со скоростями угловых деформаций.

где: θ_x, θ_y , θ_z – угловые деформации жидкой частицы.

	(1.3)

Коэффициентами пропорциональности являются коэффициенты динамической вязкости.

Гипотеза позволяет 6 неизвестных напряжений выразить через проекции скорости и давления.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: