Сделай Сам Свою Работу на 5

Дифракция Фраунгофера от щели.





Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская волна. Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран (Рис. 5.6). Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоскости Рис. 5.6. Все вводимые в дальнейшем величины, в частности угол φ, образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширины dx. Вторичные волны с цилиндрической волновой поверхностью, посылаемые зонами в направлении, определяемом углом φ, соберутся в точке экрана P.

b

dx х


 

D = xsinj

 

Экран

P

Pис. 5.6

Каждая элементарная зона создаст в точке P колебание dE. Линза собирает их в фокальной плоскости, причём эти волны можно считать плоскими. Поэтому множитель 1/r в выражении

(5.11)

(r расстояние от элемента поверхности dS до точки P) для dE в случае дифракции Фраунгофера будет отсутствовать. Ограничившись рассмотрением не слишком больших углов , можно коэффициент K в формуле (1) считать постоянным. Тогда амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны dx. Следовательно, амплитуда dA колебания dE, возбуждаемого зоной ширины dx в любой точке экрана, имеет вид , где С – константа.



Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через А0. Ее можно найти, проинтегрировав dA по всей ширине щели b :

.

Отсюда С=А /b, и, следовательно,

.

Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями dЕ. Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р элементарными зонами с координатами О и x (Рис.5.7 ). Оптические пути ОР и QP таутохронны. Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на пути D, равна xsinj. Если начальную фазу колебания, возбуждаемого в точке Р элементарной зоной, находящийся в середине щели (х = 0), положить равной 0, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой х, будет равна



, где l – длина волны в данной среде.

Таким образом, колебания, возбуждаемые элементарной зоной с координатой х в точке Р может быть представлено в виде

d (5.12)

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Проинтегрировав выражение (5.12) по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке Р открываемым щелью участком волновой поверхности:

Exp

Вынесем множители, не зависящие от х, за знак интеграла. Кроме того введем обозначение

. (5.13)

В результате получим

.

Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду результирующего колебания. Приняв во внимание, что, согласно формуле Эйлера, разность экспонент, деленная на 2i, представляет собой singb, можно написать

(5.14)

(поставили значение (5.13) для g).

Выражение (5.14) является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:

. (5.15)

Для точки, лежащей против центра линзы, j=0. Подстановка этого значения в формулу (5.15) дает для амплитуды значение А . Этот результат можно получить более простым путем. При j=0 колебания от всех элементарных зон приходит в точку Р в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значениях j, удовлетворяющих условию: pbsinj/l = ±kp, т.е. в случае, если bsinj = ±kl (k=1,2,3,…), (5.16)

то, амплитуда А обращается в нуль. Таким образом, условие (5.16) определяет положения минимумов интенсивности. Отметим, что bsinj представляет собой разность хода D лучей, идущих в точку Р от краев щели (рис. 5.6)



Условие (5.16) легко получить из следующих соображений. Если разность хода D от краев щели равна ±kl, открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2k равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна l/2(рис. 5.7, выполненный для k=2).

Колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки P разность хода D равна ±(k+1/2)l, число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

 

 

 

Рис. 5.7.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, совместно с (5.14)

, (5.17)

где – интенсивность в середине дифракционной картины, – интенсивность в точке.

Из формулы (5.17) получается, что . Это означает, что Iφ - чётная функция и дифракционная картина симметрична относительно центра линзы.

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели b к длине волны l. Из условия (5.16) следует, что sinj = ± kl¤ b. Модуль sinj не может превысить 1. Поэтому kl¤ b £ 1, откуда

k £ b/l . (5.18)

При ширине щели, меньше длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.

Краям центрального максимума соответствуют значения угла j, получающиеся из условия bsinj = ± l. Эти значения равны ±arcsin(l/b). Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна

dj = 2arcsin(l/ b) (5.19)

В случае, когда b>>l, значения sin(l/b) можно положить равным (l¤ b). Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом:

dj = 2l/ b. (5.20)

Т.е. центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредотачивается основная доля светового потока, проходящего через щель.

В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоянием от щели до экрана, лучи, идущие в точку Р от краев щели, будут практически параллельными и в отсутствии линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраунгофера. Все полученные выше формулы будут справедливы, причем под j в этих формулах следует понимать угол между направлением от любого края щели к точке Р и нормалью к плоскости щели.

Критерий дифракции.

Установим количественный критерий, позволяющий определить, какой вид дифракции будет иметь место в каждом конкретном случае. Найдем разность хода лучей от краев щели до точки Р (рис.5). Применим теорему косинусов к треугольнику со сторонами r, r+D и b: (r+D) =r +b -2rbcos(p/2+j).

После несложных преобразований получим

2rD + D = b + 2rbsinj. (5.21)

Нас интересует случай, когда лучи, идущие от края щели в точку Р, почти параллельны. При этом условие D2 << rD, поэтому в уравнении (5.21) можно пренебречь слагаемым D2. В этом приближении

D=b2/2r+bsinj. (5.22)

 

 
 


j D

 

r r + D l

 

P

Рис.5.8

В пределе при r®¥ получается значение разности хода D = bsinj, совпадающие с выражением, фигурирующим в формуле(5.16).

При конечных r характер дифракционной картины будет определяться соотношением между разностью D - D и длиной волны l. Т.е.. характер дифракции зависит от значения безразмерного параметра

b2/(ll) (5.23)

<<1 – дифракция Фраунгофера,

Если b2/ll = ~1 – дифракция Френеля,

>>1 – геометрического оптика.

Параметру (5.23) можно дать наглядное истолкование. Возьмем точку Р, лежащую против середины щели рис.5.9.

b

 

 

l l+m .

 

 

P

Рис. 5.9.

Для этой точки число m открываемых щелью зон Френеля определяется соотношением (l + ml/ 2)2 = l + (b/2)2. Раскрыв скобки и отбросив слагаемое, пропорциональное l2, получим

m = b2/4ll ~ b2/ll (5.24).

Таким образом, параметр (5.23) непосредственно связан с числом открытых зон Френеля ( для точки, лежащей против середины щели).

Если щель открывает малую долю центральной зоны Френеля (m<<1), наблюдается дифракция Фраунгофера. Если щель открывает небольшое число зон Френеля (m~1), на экране получается изображение щели, обрамленное по краям отчетливо видимыми светлыми и темными полосами. И если щель открывает большое число зон Френеля (m>>1), на экране получается равномерно освещенное изображение щели.

Дифракционная решетка.

Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние щелей (рис.5.10). d = a +b Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом решетки. Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран. Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны. Каждая из щелей даст на экран картину. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы).

b а d

 

D = dsinj

 

P O

Рис. 5.10

Если бы колебания, приходящие в точку Р от различных щелей, были некогерентными, результирующая картина от N щелей отличалась бы от картины,

 
 

создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли в N раз, а т.к. колебания от различных щелей являются когерентными; поэтому результирующая интенсивность будет определяться квадратом суммарной амплитуды от N щелей NA.Так как интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно, интенсивность, возникающая при интерференции рассматриваемых лучей от N щелей определяется выражением

(K – коэффициент пропорциональности, I0 = Кα2 – интенсивность, создаваемая каждой из щелей в отдельности, I -интенсивность, создаваемая одной щелью), следовательно,

Iреш = Iφ (sin (Nd/2)/sin (d/2)) (5.25)

Из рис.5.10 видно, что разность хода от соседних щелей равна D =dsinj. Следовательно, разность фаз

d=2pD/l = (5.26)

Подставив в формулу (5.25) выражение (5.17) и (5.26) для Iφ и d, получим

(5.27)

( -интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы).

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.