Сделай Сам Свою Работу на 5

При этом все потребности в продукции будут удовлетворены, а общие минимальные транспортные издержки составят 143 у.е





Задача 1.9

При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса задан в таблице.

Таблица 1

  Ресурсы Норма затрат ресурсов на товары Общее количество ресурсов
  1-го вида   2-го вида

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед..

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от её реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум и почему?

Решение

Имея данные о прибыли от реализации каждого вида продукции, преобразуем Таблицу 1 в Таблицу 2.

Таблицу 2

  Ресурсы Норма затрат ресурсов на товары Общее количество ресурсов
  1-го вида   2-го вида
Прибыль от продажи      

 



1. Составим ЭММ задачи.

Пусть х1 и х2 - количество товара 1-го и 2-го видов, необходимые для получения максимальной прибыли. Тогда ЭММ будет иметь вид:

F(X)= 2x1 +3x2 → max, при ограничениях в количестве ресурсов.

X = (x1;x2) – вектор, при котором F(X) → max и выполняются ограничения

х1 0, х2 0.

2. Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом.

Построим ОДР задачи. Условие неотрицательности определяют полуплоскости с граничныим прямыми х1=0 и х2=0 соответственно.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости. Определим, какую часть плоскости описывает неравенство

а) ;

;

Построим прямую . Она проходит через точки (0;6) и (6;0). Для того чтобы определить, какая плоскость удовлетворяет неравенству, необходимо выбрать любую точку не принадлежащую прямой. Выберем точку начала координат (0;0), подставим в неравенство и получим 0≤12. Данное утверждение является верным, следовательно неравенству соответствует нижняя полуплоскость.



Аналогично определяем плоскости по другим ограничениям.

б) в) г)

Пересечение этих нижних полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы и удовлетворяет условиям неотрицательности, определяет многоугольник ОАВСД. Координаты любой точки, принадлежащей области определения, являются допустимым решением задачи. (Рис 1)

Для нахождения максимального значения целевой функции при графическом решении задачи линейного программирования используют вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции.

Этот вектор показывает направление наискорейшего изменения целевой функции. Прямая 2х1+3х2 = а (а – постоянная величина) перпендикулярна вектору-градиенту . Перемещая линию уровня в направлении этого вектора до тех пор, пока она не покинет пределов ОДР. Предельная точка области при этом движении и является точкой максимума, в нашей задаче это точка С (Рис 1). Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума.

;

Значение целевой функции в этой точке равно:

max f(X)= 2*4+3*2 = 14

3. Вывод: Прибыль предприятия будет максимальной и составит 14 ден.ед., если продукция 1-го вида будет выпускаться в количестве 4-х изделий, а продукции 2-го вида в количестве 2-х изделий.

Рис 1. Графическое решение ЗЛП.

 



4. Сформулируем и решим двойственную задачу. Используя теоремы двойственности, решаем задачу на получение выручки от продажи ресурсов не менее суммы полученной при производстве продукции.

Составим двойственную задачу для исходной:

Z(Y) = 12y1+8y2+16y3+12y4 → min

При ограничениях:

Используя первую теорему двойственности имеем:

F(X*)=Z(Y*), т.е. оптимальные значения целевых функций совпадают.

Поскольку в оптимальном плане исходной задачи х1*= 4; х2*= 2 и выполняется условие неотрицательности,то по теореме о дополняющей нежесткости для двойственных оценок у1* и у2* имеет место равенство:

Y* = (0,5; 1; 0; 0)

Z(Y*) = 12*0,5+8*1+16*0+12*0 = 14

min Z(Y) = 14

Двойственные оценки найдены правильно.

5. Экономический смысл задач.

Прибыль предприятия будет максимальной и составит 14 ден.ед., если продукция 1-го вида будет выпускаться в количестве 4-х изделий, а продукции 2-го вида в количестве 2-х изделий. Составив и решив задачу на минимум, получаем, что при оптимальной производственной программе и векторе оценок ресурсов производственные потери равны нулю.

 

Задача 2.9

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

2.9. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в Таблице 1.

Таблица 1

Тип сырья Нормы расхода сырья на одно изделие Запасы сырья
А Б В Г
I 0,5
II
III
Цена изделия 7,5  

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

1. проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

2. определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I вида на 100 единиц и уменьшении на 150 единиц запасов сырья II вида;

3. оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 денежных единиц, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

4.

 

Решение.1. Данная задача оптимизации является задачей линейного программирования. Обозначим количество выпускаемых видов продукции А, Б, В, Г, Дсоответственно как х1, х2, х3, х4, х5 . Целевой функцией задачи является общая стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления изделий — 3. Дополнительно вводится условие неотрицательности переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов, формулируем математическую модель исходной задачи линейного программирования:

Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения» табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):

 

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

 

(для копирования снимка окна в буфер обмена данных используется комбинация клавиш Alt + Print Screen).

Использование надстройки позволило получить значения переменных оптимального плана выпуска изделий: Х*=(0; 0; 400; 550). Целевая функция имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=9000 (приложение).

Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации продукции следует производить x3*=400 изделий В, x4*=550 изделий Д и не производить изделия А и Б (x1*=0 и x2*=0).

2. Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III как y1, y2, y3 соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи — 4. Математическая модель двойственной задачи имеет вид:

 

 

При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по устойчивости» (приложение) приводятся теневые цены ресурсов: y1*=3; y2*=1,5; y3*=0.

Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи

совпадает (в пределах погрешности округления) с наибольшим значением целевой функции исходной задачи f(X*).

3. Выпуск изделий А и Б невыгоден для данных условий задачи. Это объясняется тем, что стоимость ресурсов на изготовление единицы этой продукции в теневых ценах превышает цену реализации:

Продукция А:

 

Продукция Б:

4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого подставим в ограничения исходной задачи значения переменных оптимального плана Х*=(0; 0; 400; 550) и проверим выполнение неравенств:

Видно, что ресурсы I и II используются в оптимальном плане полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y1*>0; y2*>0). Самым дефицитным является ресурс I, так как он имеет наибольшую теневую цену (y1*=3); следующим по дефицитности идет ресурс II (y2*=1,5).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов I, II сдерживают рост объемов выпускаемой продукции и наибольшей выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса I на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 3ден.ед., увеличение объема ресурса II на единицу — на 1,5 ден.ед.

Ресурс III является недефицитными (y3*=0), т. е. избыточными в оптимальном плане. Увеличение объемов этих ресурсов не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.

Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах устойчивости (см. приложение), что дает возможность сразу рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой продукции, не решая новую задачу линейного программирования:

При этом «новая» наибольшая выручка составит

Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и изделия Д с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение с ценой реализации:

Следовательно, продукцию Д выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции. Это, в свою очередь, препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие Д реализовывалось по цене равной или большей 12 руб., то его производство было бы выгодным.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ:

1. рабочий лист EXCEL;

Отчет по результатам».

Задача 3.9

 

Необходимо решить транспортную задачу – минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной единицы продукции, объем заказа и количество продукции, хранящейся на складе.

Таблица 1

Таблица тарифов на перевозку продукции и, объемов запасов на складе и запасов

Магазин   Склад «Булочная» «Хлеб» «Сладости» «Сдоба» «Сладкоежка» Запасы на складе (ед. продукции)
Крекер 2,5 1,5
Славянка 3,5 1,6
Сластена 2,5
Объем заказа (ед. продукции)  

 

Решение

В данной задаче суммарные потребности больше суммарных запасов 190>170 ∑ 3i=1 ai≠ ∑ 5j=1 bj

транспортная задача, в которой суммарные запасы и суммарные потребности не совпадают является открытой. Добавим фиктивный склад с запасом продукции 70 ед. и нулевыми тарифами перевозок. Получим задачу закрытого типа.

Таблица 2

Матрица планирования

Склад Магазин Предложение
В1 В2 В3 В4 В5  
А1 2,5 1,5
А2 3,5 1,6
А3 2,5
А4
Потребности  
               

 

 

1. Вводим исходные данные.

2. Создаем формы для решения задачи - создаем матрицу перевозок. Для этого обозначаем место, где место где после решения задачи будет находиться распределение поставок, обеспечивающее минимальные материальные затраты на перевозку груза изменяемые ячейки В12:F15- в них будет записан оптимальный план перевозок хij (рис.16)

3. Вводим ограничения для всех поставщиков и всех потребителей (в матрице перевозок суммируем ячейки по столбцам и по строчкам).

4. Назначение целевой функции G2, соответствующей минимальным суммарным затратам на доставку груза представляет собой произведение удельных затрат на доставку груза. После решения задачи в данной ячейке будет находиться значение целевой функции. Запускаем Мастера функций (категория математические, СУММПРОИЗВ) и указываем адреса массивов, элементы которых обрабатываются этой функцией.

5. Запускаем команду Поиск решения–устанавливаем целевую ячейку, указываем адреса изменяемых ячеек, тип целевой функции- максимальное значение, вводим ограничения. В диалоговом окне Параметры поиска решения установим флажки в окна Линейная модель и Неотрицательные значения. Добавляем ограничения.

Рис. 1

 

6. Решение задачи выполняется сразу после ввода данных, когда на экране находится диалоговое окно Поиск решения, после нажатия кнопки Выполнить получим оптимальный план перевозок:

Таблица 3


=2,5*0+3,5*0+0*20+3*0+0*0+4*0+2*25+1*0+0*25+1*40+3*0+2,5*0+0*0+1,5*0+4*0+1*5+0*45=143

 

План перевозки означает, что :

Х13=40 ед. груза следует перевезти от поставщика 1 потребителю 3;

Х22=25 ед. груза следует перевезти от поставщика 2 потребителю2;

Х24=30 ед. груза следует перевезти от поставщика 2 потребителю4;

Х31=20 ед. груза следует перевезти от поставщика 3 потребителю1;

Х35=5 ед. груза следует перевезти от поставщика 3 потребителю5;

Х42=25 ед. груза следует перевезти от поставщика 4 потребителю2 (фиктивный склад);

Х45=45 ед. груза следует перевезти от поставщика 4 потребителю 5 (фиктивный склад)

При этом все потребности в продукции будут удовлетворены, а общие минимальные транспортные издержки составят 143 у.е

 

 

Задача 4.9

Имеется временной ряд прибыли предприятия за последние 9 лет (переменная Y, млн. руб.):

Таблица 1

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yt

 

Требуется:

5. построить линейную модель, аппроксимирующую временной ряд;

6. проверить наличие линейного тренда во временном ряду;

7. проверить адекватность модели;

8. оценить точность модели;

9. спрогнозировать значение прибыли предприятия на 1 и 2 года вперед.

Решение

Данную задачу решаем с помощью табличного процессора MS Excel.

1. Линейную модель экономического прогнозирования строим с помощью диаграммы программного средства. Предварительно выделяется блок ячеек «Время t» и «Факт yt» вместе с заголовками (прил. 1), а затем выбирается пункт меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»:

 

Рис. 1

 

Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…» ® «Линейная»), и устанавливаем «Прогноз» вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме уравнения тренда и коэффициента детерминации R2:

 

Рис. 2 Рис. 3

 

В результате получим график, содержащий фактические данные и результаты моделирования (прил. 2). Уравнение линейного тренда имеет вид:

.

Коэффициент детерминации равен R2=0,967.

Угловой коэффициент а1=-2,42 уравнения показывает, что за один год прибыль предприятия уменьшается в среднем на 2,42 млн. руб.

 

2. Коэффициент детерминации R2=0,967 превышает критическое значение для уровня значимости a=0,05 и длины временного ряда n=9. Это указывает на статистическую значимость линейной модели и наличие линейного тренда во временном ряду.

Само значение R2 показывает, что изменение во времени прибыли предприятия на 96,7 % описывается линейной моделью.

 

3. Проверим адекватность построенной модели. Рассчитанные по модели значения прибыли (t=1, 2,…, 9) определяются с помощью встроенной функции MS Excel «ПРЕДСКАЗ». Эти значения и остатки (t=1, 2,…, n) приводятся в прил. 1. График временного ряда остатков строим также с помощью диаграммы MS Excel (см. прил. 1).

Визуальный анализ графика остатков не позволяет выявить в ряду остатков какой-либо закономерности, что свидетельствует о случайности остатков.

Проверим независимость остатков с помощью критерияДарбина–Уотсона.Для расчета d‑статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций MS Excel:

=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»;«Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

d‑статистика имеет значение

Критические значения d‑статистики для числа наблюдений n=9 и уровня значимости a=0,05 составляют: d1=0,82; d2=1,32.

Так как выполняется условие

,

то статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

Для достоверности проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка, который равен

.

Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций:

=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»;«Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=9 и уровня значимости a=0,05 составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

,

где emax=2,44; emin=(–1,97) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»); — стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»).

Критические границы R/S-критерия для числа наблюдений n=9 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R/S)1=2,7 и (R/S)2=3,7.

Расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности модели. Это свидетельствует о том, что линейная модель вполне соответствует исследуемому экономическому процессу.

 

4. Оценим точность модели. Стандартная ошибка линейной модели определяетсяс помощью встроенной функции MS Excel «СТОШYX». Она имеет значение

млн. руб. (см. прил. 1).

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по формуле

%,

где млн. руб. — средний уровень временного ряда (определенс помощью встроенной функции«СРЗНАЧ» (см. прил. 1).

Значение Еотн показывает, что предсказанные моделью значения прибыли предприятия Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,92 %. Средняя относительная ошибка аппроксимации менее 10 % свидетельствует о высокой точности линейной модели.

 

5. Строим точечный и интервальный прогнозы прибыли предприятия на 1 и 2 недели вперед.

Прогноз на 1 неделю (период упреждения k=1):

1) Точечный прогноз :

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение прибыли предприятия составляет 23,44 млн. руб.

2) Интервальный прогноз с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,9:

млн. руб.,

где tтабл=1,89 — табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной вероятности g=0,9 и числа степеней свободы ; Kпр=1,24 — коэффициент интервального прогноза для n=9 и k=1.

С вероятностью 90 % фактическое значение прибыли предприятия будет находиться в интервале от 20,39 до 26,49 млн. руб., причем оптимистическим прогнозом является верхняя граница интервального прогноза 26,49 млн. руб., а пессимистическим — нижняя 20,39 млн. руб.

Прогноз на 2 неделю (период упреждения k=2):

1) Точечный прогноз:

млн. руб.

Среднее прогнозируемое значение прибыли предприятия через 2 недели составляет 21,02 млн. руб.

2) Интервальный прогноз с надежностью g=0,9:

млн. руб.,

где Kпр=1,31 — коэффициент интервального прогноза для n=9 и k=2.

С вероятностью 90 % фактическое значение прибыли предприятия будет находиться в интервале от 17,80 до 24,24 млн. руб., причем оптимистическим прогнозом является верхняя граница интервального прогноза 24,24 млн. руб., а пессимистическим — нижняя 17,80 млн. руб.

Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (см. прил. 2).

 

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.