Сравнение нескольких выборок по изменчивости признака

Одна из задач сравнения двух выборок состояла в том, чтобы оценить однородность варьирования значений в их пределах, т. е. чтобы сопоставить множества случайных причин, действовавших при формировании выборок. Для двух выборок задача решалась с помощью метода сравнения двух дисперсий по критерию Фишера. В случае нескольких выборок используется критерий Бартлетта. С его помощью проверяется нулевая гипотеза о равенстве нескольких дисперсий по всем градациям дисперсионного комплекса (Но: S₁² = ... = S_j ² = … = S_k²) – "фактор, действующий на разные выборки, не вызывает изменения характера варьирования".

Существенным ограничением для использования этого критерия является требование соответствия сравниваемых распределений нормальному закону. В другом случае критерий будет фиксировать не отличие дисперсий, но отличие типов распределений. Это значит, что уверенность в "нормальности" распределения должна быть условием выполнения процедуры, рассмотренной ниже.

Метод основан на том известном явлении, что выборочные дисперсии несколько отличаются от генеральной (в силу ошибки репрезентативности), а с ростом объема выборки ошибка репрезентативности уменьшается. Это значит, что для принятой нулевой гипотезы каждая из выборочных дисперсий (S_j²) может отличаться от общей дисперсии (S²), рассчитанной по всей совокупности, только случайно. Показано, что сумма отличий выборочных дисперсий от общей, есть случайная величина примерно с χ²-распределением:

χ² ≈ .

Стабилизировать поведение данной случайной величины позволяют поправки, применение которых дает критерий Бартлетта:

~ χ²_(α,k–1),

,

,

,

,

где k – число градаций (сравниваемых выборок),

n_j – объем j-й градации (j = 1, 2,…, k),

S² – дисперсия для всей совокупности данных (общая средняя сумма квадратов),

S_j² – дисперсии для каждой j-й градации (средняя сумма квадратов по каждой градации),

– операция суммирования по всем k градациям.

Рассмотрим пример использования критерия Бартлетта для изучения изменчивости длины тела дафний (данные Н. М. Калинкиной). Животных в течение месяца содержали в пяти разных концентрациях лигнина, основного компонента сточных вод предприятий целлюлозно-бумажной промышленности. К концу опыта размеры рачков (M, мм) в высоких концентрациях стали выше, чем в контроле. Возникает вопрос, не сказалась ли жизнь в загрязненной среде на изменчивости (S, мм) размеров тела дафний? Предварительные расчеты приведены в табл.7.5.

Таблица 7.5

Искомые величины составят:

,

=

= = –164.416 + 173.711 = 9.29816,

=

= 1.04698,

= = 8.88.

Полученная величина (8.88) не превышает табличное значение критерия χ²_(0.05,4) = 9.49 (табл. 9П), следовательно отличия дисперсий друг от друга недостоверны. Пока не удалось доказать влияние токсиканта на изменчивость длины тела дафний.

Сравнение нескольких выборок по величине двух признаков (двухфакторный дисперсионный анализ)

Двухфакторный дисперсионный анализ исследует влияние на результативный признак двух факторов как порознь, так и совместно. Учет эффекта влияния каждого фактора по отдельности теоретически ничем не отличается от описанных выше схем. И там и тут оценивается изменчивость средних по градациям на фоне случайной изменчивости вариант внутри градаций, с помощью критерия Фишера устанавливается достоверность отличий межгрупповых дисперсий от внутригрупповых.

Важным преимуществом двухфакторного дисперсионного анализа перед однофакторным служит то, что с его помощью в рамках факториальной изменчивости удается определить варьирование по сочетанию градаций С_сочет., позволяющее получить новый и весьма ценный в биологическом отношении по­казатель – оценку влияния сочетанного действия (взаимодействия) факторов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: