Свойства нормального распределения

Биометрия изучает поведение биологических случайных величин. Начиная биологический экспери­мент или приступая к наблюдению, невозможно точно сказать, каков будет результат – уровень численности животных в дан­ном районе, вес еще не отловленных особей, количество сахара в крови через час после введения препарата и т. п. В этом смыс­ле биологические явления случайны, точно не предсказуемы. Од­нако любому биологу ясно, что случайность эта не абсолютна. Несмотря на сложность точного прогноза, приблизительный ре­зультат можно предугадать, в частности, предсказав, что интере­сующая нас величина будет находиться в пределах некоторого интервала между конкретными минимальными и максимальны­ми значениями. Ясно, например, что рост очередного встречного взрослого человека вряд ли пре­высит два метра или будет меньше полутора метров. Такого рода прогноз можно дать, ориентируясь на повторяемость однотипных наблюдений, на распределение случайных величин. Распределение – это соотно­шение между значениями случайной величины и частотой их встречаемости. Если значения признака откладывать по оси абсцисс, а частоты их встречаемости по оси ординат, то можно построить гистограмму, удобную частотную диаграмму. Изучая такие признаки, как размеры и массу тела, мы наблюдаем повторяемость одних значений и редкость встреч других. Как мы видели, это было характерно для веса тела землероек. При этом числовые значения вариант располагаются в некоторой ограниченной зоне, в цент­ре которой их особенно много, а по краям мало. Такое рас­пределение называют нормальным. Его форма помогает строить прогнозы.

Так, в случае продолжения отлова зверьков выше будет вероятность отловить таких новых особей, масса тела которых окажется ближе к центральному значению, чем к крайним. Знание математического закона распре­деления анализируемого признака позволяет предсказывать значения вариант много точнее – с некоторой вероятностью. Закон нормального распределения случайной величины задан уравнением:

,

где , нормированное отклонение для конкретного признака; M, S – параметры нормального распределения..

Уравнение определяет ход кривой линии, имеющей характерную колоколообразную форму, т. е. позволяет вычислить ординаты нормальной кривой, или "плотность вероятности" (p). Вероятность – численная мера возможного, определяется как отношение числа вариант (исходов испытаний) определенного вида к общему числу вариант (опытов). Поскольку нормальное распределение характерно для непрерывных случайных величин, говорят не о вероятности какого-то определенного значения варианты, но о "плотности вероятности", отражая тем самым плавность изменения вероятности значений для разных значений t, чем ближе к центру распределения, тем плотность вероятности выше. С помощью уравнения плотности вероятности можно рассчитать (интегрируя) вероятность появления нового значения случайной величины в том или ином интервале значений t. Итак, формула количественно выражает вполне определенные свойства поведения случайной величины, из которых можно назвать следующие практически важные следствия:

1. Все варианты лежат в интервале плюс-минус беско­нечность. Иными словами, с вероятностью P = 1 (P = 100%) мы вправе ожидать появление новой варианты в пределах от –∞ до +∞. Слева и справа от средней арифметической лежит по 50% вариант, т. е. с вероятностью P = 0.5 (50%) можно предска­зать появление новой варианты в интервалах M–∞ и M+∞.

2. В интервале от M–1S до М+1S лежат 68.3% всех вари­ант; с вероятностью P = 0.683 (P = 68.3%) можно прогнозиро­вать появление новой варианты на расстоянии ±1S от средней, или в диапазоне M±S.

3. Между M–1.96S до М+1.96S лежит 95% вариант. Это позволяет с 95%-ной вероятностью предполагать, что новая варианта окажется в интервале М±1.96S (округленно М±2S – так называемое правило двух стандартных отклонений).

4. С вероятностью P = 0.99 значение новой варианты бу­дет заключено в пределах М±2.58S и с вероятностью P = 0.999 – в интервале М±3.3S.

Исходя из сказанного, можно оценить вероятность появле­ния новых значений признака. В отношении непрерывных слу­чайных величин (метрических признаков) эта процедура сво­дится к так называемой интервальной оценке. Для полученных ранее характеристик, массы бурозубок, средней M = 9.26 и стандартного отклонения S = 0.79 (г), находим доверительные интервалы: M±1S = 9.26±0.78, M±1.96S = 9.26±1.53. Новое значение признака с вероятностью P = 0.68 ожидается в пределах 8.47–10.6 г., а с вероятностью P = 0.95 –меж­ду 7.68 и 10.82 г. Предсказание веса землероек, конечно, не имеет большого практического значения и приводится нами исключительно для иллюстрации. Гораздо важнее может быть прогноз численности ценных промысловых видов, сельскохозяйственных вредителей, вспышек болезней, урожая культур­ных растений и т. п. Эти прогнозы также основаны на оценке доверительной вероятности ожидаемого события.

Важнейшее значение для практического применения имеет "соглашение о 95%". В соответствии с ним совокупности, состоящей из 95% особей (объектов), мы доверяем так же, как и 100%-ной. Термин "доверительная вероятность P = 0.95" означает, что, согласно принятому допущению, 95% вариант достаточно полно характеризуют изучаемое явление (в данном случае изменчивость веса землероек), что позволяет ограни­читься рассмотрением вариант в области М±1.96S, охватываю­щей эту 95%-ную совокупность. Так, мы принимаем, что нормальный вес землероек данного вида может изменяться в пределах 7.7–10.8 г, не больше и не меньше. За этими пределами мы обнаруживаем животных иного вида или статуса.

При этом в биометрии обычно довольствуются доверительной вероятностью P = 0.95 (уровень значимости α = 0.05), хотя в наиболее ответственных исследованиях принимают и более строгие уровни – P = 0.99 и P = 0.999. Однако это имеет смысл лишь при очень больших выборках исходных данных, точно описывающих закономерности изменчивости признаков. Обычно же выборки не очень велики, что позволяет ограничиться меньшей степенью доверительной вероятности Р = 0.95.

"Уровень значимости" – понятие, альтернативное довери­тельной вероятности и, соответственно, составляет разность между единицей и доверительной вероятностью (α = 1–P). Для доверительной вероятности 0.95 уро­вень значимости составляет 0.05, а для 0.99 и 0.999 – соответ­ственно 0.01 и 0.001. Уровень значимости, равный 0.05 (5%), можно интерпретировать так: имеется всего 5% шансов, что полученная величина не будет соответствовать изучаемой со­вокупности. Уровень значимости – это тот теоретический про­цент вариант нормального распределения, который можно от­бросить, не учитывать, дабы с меньшими усилиями получить основную информацию об изучаемом явлении. Можно целую жизнь положить на попытки отловить обыкновенную землеройку-бурозубку весом 2.5 г, но так и не собрать выборку, доста­точную по объему, чтобы это реализовать (миллионы особей). Поэтому использование доверительной вероятности и уровня значимости можно назвать средством (теоретической базой) разумного ограничения материала (времени и масштабов ис­следования), позволяющего получить достоверную общую ин­формацию за счет исключения ничтожной доли частной (из­лишне конкретной). В итоге такой прием дает возможность найти границы нормальной изменчивости изучаемых признаков и отбросить ошибочные, наведенные и артефактные значения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: