Смешанное произведение трех векторов
Определение. Число [ , ]× – называют смешанным произведение упорядоченной тройки векторов , , .
Обозначаем: ( , , ) = = [ , ]× .
Так как в определении смешанного произведения участвуют векторное и скалярное произведения, то их общие свойства являются свойствами смешанного произведения.
Например, ( l ) = l ( ).
Теорема 1. Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.
Доказательство. Если данная тройка векторов , , компланарная, то для векторов выполняется одно их следующих условий.
1. В данной тройке векторов есть хотя бы один нулевой вектор. В этом случае доказательство теоремы очевидно.
2. В данной тройке векторов есть хотя бы одна пара коллинеарных векторов. Если || , то [ , ]× = 0, так как [ , ]= . Если
|| , то [ , ] ^ и [ , ]× = 0. Аналогично, если || .
3. Пусть данная тройка векторов компланарная, но случаи 1 и 2 не выполняются. Тогда вектор [ , ] будет перпендикулярным плоскости, которой параллельны все три векторы , , .
Следовательно, [ , ] ^ и ( , , ) = 0.
Теорема 2. Пусть в базисе { } заданы векторы ( ), ( ), ( ). Тогда
( , , ) = .
Доказательство. Согласно определению смешанного произведения
( , , ) = [ , ]× = с1 – с2 + с3 = .
В силу свойств определителя имеем:
= − = .
Теорема доказана.
Теорема 3. ( , , ) = × [ , ].
Доказательство. Так как
( , , ) = ,
а в силу свойств определителя имеем:
= ,
то
( , , ) = = = [ , ]× = × [ , ].
Теорема доказана.
Теорема 4. Модуль смешанного произведения некомпланарной тройки векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на представителях данных векторов с общим началом.
Доказательство. Выберем произвольную точку О и откладываем от нее представители данных векторов , , : , . В плоскости ОАВ построим параллелограмм ОАDB и, добавляя ребро ОС, построим параллелепипед ОАDBCA¢D¢B¢. Объём V этого параллелепипеда равен произведению площади основания ОАDB на длину высоты параллелепипеда ОО¢.
Площадь параллелограмма ОАDB равна |[ , ]|. С другой стороны
|OO¢| = | | |cos j|, где j – угол между векторами и [ , ].
Рассмотрим модуль смешанного произведения :
|( , , )| = | [ , ]× | = |[ , ]|×| |×|cos j| = |[ , ]|×|OO¢| = V.
Теорема доказана.
Замечание 1. Если смешанное произведение тройки векторов равно нулю, то эта тройка векторов линейно зависимая.
Замечание 2. Если смешанное произведение данной тройки векторов положительно, то тройка векторов правая, а если отрицательно, то тройка векторов левая. Действительно, знак смешанного произведения совпадает со знаком cos j, а величина угла j определяет ориентацию тройки , , . Если угол j – острый, то тройка правая, а если j – тупой угол, то тройка левая.
Пример 1.Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и координаты следующих векторов в ортонормированном базисе: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (–3; –2; 5).
Найти: 1) объем параллелепипеда;
2) площади граней ABCD и CDD1C;
3) косинус двугранного угла между плоскостями ABC и CDD1.
Решение.
1) Данный параллелепипед построен на векторах
Таким образом, его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов, т.е.
(куб.ед.)
Итак, Vпар = 12 куб.ед.
2) Напомним, что площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.
Т.о. .
Введем обозначение: ,тогда
Следовательно, (6; – 8; – 2), откуда
.
Т.о. кв.ед.
Аналогично,
Пусть , тогда
,
откуда (15; – 20; 1) и
Значит кв.ед.
3) Введем следующие обозначения: пл. (АВС)= , пл. (DCC1)= .
.
Согласно определению векторного произведения имеем:
и .
А значит справедливо следующее равенство:
.
Из второго пункта решения имеем:
.
тогда
.
Итак,
Пример 2.
Доказать, что если , , – взаимно перпендикулярные единичные векторы, то для любых векторов и справедливо равенство:
. (1)
Решение.
Пусть в ортонормированном базисе { , , } заданы координаты векторов: ; . Так как , , , то по свойству смешанного произведения имеем:
,
,
.
Таким образом, равенство (1) можно записать в следующей форме: , а это одно из доказанных свойств векторного произведения векторов и . Тем самым справедливость равенства (1) доказана.
Решение нулевого варианта
Контрольной работы
Задание № 1.
Вектор образует с базисными векторами и соответственно, углы и . Определить угол, который образует вектор с вектором .
Решение.
Построим параллелепипед на векторах , , и на диагонали , такой, что векторы и равны.
Тогда в прямоугольном треугольнике с прямым углом , величина угла равна , откуда .
Аналогично в прямоугольном треугольнике с прямым углом величина равна , откуда .
В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора находим:
.
Так как
и
,
то
.
В прямоугольном треугольнике с прямым углом катет , а гипотенуза . Значит, величина угла равна . Но угол равен углу между векторами и . Тем самым задача решена.
Задание № 2.
Заданы три вектора , , в базисе { , , }. Доказать, что четырехугольник – плоский. Найти его площадь.
Решение.
1. Если векторы , и компланарные, то – плоский четырехугольник. Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов.
.
Так как определитель равен нулю, то векторы , и компланарные, а значит, четырехугольник – плоский.
2. Заметим, что , поэтому и , таким образом четырехугольник трапеция с основаниями АВ и CD.
Тогда
.
По свойству векторного произведения имеем:
,
.
Так как
,
то
(0; 0; 5).
Так как
,
то
.
Находим векторное произведение
,
откуда
.
Значит
.
,
откуда
.
Значит
.
Тогда
.
Задание № 3.Найти вектор , коллинеарный вектору (2; 1; –2), у которого длина равна 5.
Решение.
Обозначим координаты вектора (х, у, z). Как известно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны, и поэтому имеем:
х = 2t, y = t, z = − 2t.
По условию задачи | | = 5, а в координатной форме:
.
Выражая переменные через параметр t, получим:
4t2 +t2 +4t2 =25,
откуда
t2 = .
Таким образом,
t = ±
и
х = ± , у = ± , z = .
Получили два решения:
1 ( ; ; − ), 2 (− ;− ; ).
Тест
Вариант 0.
А 1. Лучи [А, В) и [С, D), лежащие на одной прямой (А, В), называются сонаправленными, если
1) они лежат в одной полуплоскости с границей (А,С)
2) их пересечением является луч; 3) они не пересекаются
4) другой ответ
А 2. Свойство лучей быть противоположно направленными
1) транзитивно 2) симметрично 3) рефлексивно 4) другой ответ
А 3. Вектором в пространстве мы называем
1) отрезок 2) направленный отрезок 3) класс эквиполлентных направленных отрезков 4) другой ответ
А 4. Вычислить определитель
1) 17 2) 16 3) –17 4) 12.
А 5. Найти длину вектора (5, 4, 0)
1) 2) 3) 9 4) другой ответ
А 6. При каком значении векторы и взаимно перпендикулярны?
1) 5 2) – 4 3) 10 4) 4
А 7. Найти сумму , если векторы и коллинеарные
1) 6 2) 18 3) – 6 4) 0
А 8. Если , то векторы и 1) сонаправленые 2) противоположно направленые 3) перпендикулярные 4) равные
А 9. Дано: . Модуль вектора равен 1) 1 2) 3) 4) 5
А 10. Вычислить определитель 1) 1 2) 3 3) –1 4) – 3
А 11. Найти векторное произведение векторов (0; –1; 1). (1; –1; 3)
1) (–2; –1; 1) 2) (–2; 1; 1) 3) (2; 1; 2) 4) другой ответ
А 12. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и . 1) 30 2) 15 3) 60 4) другой ответ
А 13. Какая из следующих троек векторов является компланарной?
1) (3; 0; 2), (–5; 3; – 1), (6; 0; 3) 2) (2; 0; 3), (7; 1; 6) , (6; 0; 5) 3) (2; 0; 3), (–1; 7; 2) , (5; –3; 6) 4) (1; –2; 1), (3; 2; 1) , (1; 0; –1)
А 14. Найти вектор , перпендикулярный к векторам (1; 0; 2) и (0; –1; 3) такой, что , и при этом тройка векторов – левая.
1) 2) 3) 4)
А 15. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
(1; – 2; 1), (3; 2; 1) и (1; 0; –1) 1) 24 2) 10 3) 12. 4) 0
Список литературы
1. А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
2. Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. Геометрия. Ч. 1. – М.: Просвещение, 1986.
3. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Геометрия. – Ч. 1. – М.: Просвещение, 1974.
4. В.Т. Базылев, К.И. Дуничев и др. Под ред. В.Т. Базылева. Сборник задач по геометрии. – М.: Просвещение, 1980.
5. Беклемишева Л.А. и др. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч.пособие. – М.:, 2003.
6. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 2005.
7. А.Л. Вернер, Б.Е. Кантор, С.А. Франгулов. Геометрия, ч.1.– С. Петербург, 1997.
8. Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. Сборник задач по геометрии. Ч. 1. – М.: Просвещение, 1973.
9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М., 2004. – 464 с.
10. Ефимов Н.В. Высшая геометрия: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2003. – 584 с.
11. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.1. – Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2002. – 271 с.
12. Жаферов А.Ф. Геометрия: в 2-х частях. Ч.2. – Новосибирск: Сиб.унив.изд-во, 2003. – 267 с.
13. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: МГУ, 1980. – 320 с.
14. Д.В. Клетеник. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1964.
15. А.В. Погорелов. Геометрия.– М.: Наука, 1984.
16. О.Н. Цубербиллер. Сборник задач по аналитической геометрии.– М.: Наука, 1966.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|