Линейная зависимость векторов. Базис.

Скалярное произведение векторов

Опр.1 Скалярным произведением двух ненулевых геометр. в-в наз. число (или ), где .

Отметим основные свойства скалярного произведения:

1) ; (док. сам.);

2) ; (док. сам.);

3) ; (док. сам.);

ПР. Вычислить , если

4) , если – острый, , если – тупой;

5) - условие перп-ти. ненулевых в-ов;

6) (скалярный квадрат);

7) ; ПР.

8) Пусть материальная точка. перемещается из положения А в положение В под действием силы , то работа, совершаемая при этом, , где ;

9) Пусть , . Учитывая что и т.д., св-ва ск. пр-я, получим: = , т.е. ск. пр-е равно сумме произ-ий соотв. коорд. перемн-х в-в.

ПР.

Векторное произведение векторов.

Опр.1 Векторным произведением в-ра называется вектор такой, что:

1) ,

2) ,

3) тройка в-ов - яв-ся правой тройкой.

Отметим свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) ;

ПР. Выч-ть , если ;

4) - площадь парал., постр-го на в-х ;

5) Если , то

6) - момент силы , приложен. к т. О;

7) Выведем формулу для вычисления в.п. ч/з координаты в-ов.

______________________________________________________

Пусть , ; учитывая что и т.д., получим:

=…= . ПР. Найти площадь тр-ка, постр.на в-х …

Смешанное произведение в-в

Опр1 Смешанным произведением упорядоченной тройки в-в наз. число, равное скалярному пр-ю. в-ра на в-р ; обозначается:

Отметим основные свойства смешанного произведения:

1) - объем параллелепипеда, построенного на в-х (док. сам.);

2) Векторы лежат в одной пл-ти (компланарные) если 0 (док. сам.);

3) ;

4) (док. сам.)

5) Пусть , , , тогда . Док-во:

ПР. Будут ли в-ры компл.? Если – нет, найти объем пирамиды, постр. на этих в-х.

Реш. …

§6. n- мерные векторы. Основные понятия.

Опр.1 Вектором наз. упорядоченный набор из n действительных чисел: , где - наз. i – й координатой вектора x, или компонентой.

Опр.2 Размерностью вектора наз. число его координат.

ПР. .

Опр.3 , если они имеют одинаковую размерность и .

Опр.4 Нулевым наз. в-р, все коорд. к-го равны нулю.

Опр.5 Произведением в-ра x на число наз. вектор .

Опр.6 Вектором, противоположным вектору x наз. в-р .

Опр.7 Суммой в-в и наз. в-р .

Очевидно, что .

ПР.Предприятие выпускает продукцию высшего, 1-го, 2-го и
3-го сорта, - объем выпуска продукции соотв-го сорта.

Тогда в-р хар-ет выпуск всех видов продукции. Пусть в январе выпуск был , – в феврале, тогда за два месяца выпуск составит .

ПР. В физике скорость, ускорение, сила – векторы.

Опр.8Операция сложения и умножения вектора на число наз. линейными операциями над в-ми, к-ые удовл-ют свойствам:

1) 2)

3) 4)

5) 6) .

Опр.9 Скалярным произведением в-в и наз. число .

_______________________________________________________

Пр. Пусть - объем выпускаемой продукции соотв-го сорта, - себест-ть единицы продукции соотв-го сорта. Себест-ть выпуска x составит .

Свойства скалярного произведения:

1) 2)

3) 4) , причем при .

Опр.10 Скалярным квадратом в-ра x наз. число .

Опр.11 Число наз. модулем или длиной в-ра. Пр. .

Опр.12В-ры x и y наз. ортогональными, если их скал-е произ-е равно нулю.

Пр.

Опр.13.Нек-ое мн-во V наз. линейным пространством, если

1) 2) ,

причем эти операции удовлетворяют св-м лин. операций.

Оч-но, что мн-во всех n-мерных в-в образуют лин. пр-во

(при фиксированном n) Оно обозн-ся . В част. .

Опр.14Лин. пр-во наз. эвклидовым,если в нем определено скал. пр-е., удовлет-щее св-м скал-го произ-я.

Оч-но, - евклидово пр-во.

Линейная зависимость векторов. Базис.

Опр.1 Линейной комбинацией в-в наз. выражение вида , где .

Пр.

Опр.2Сист. в-в наз. лин. зависимой, если из этих в-в м. составить нулевую лин. комб., т.е. =0, где хотя бы один из коэф. .

Т. Критерий линейной зависимости с-мы векторов.

С-ма в-в лин. зависима , когда хотя бы один из ее в-в
м. представить в виде лин. комб. остальных (док. сам.).

Опр.3 С-ма в-в наз. лин. независимой, если из этих в-в невозможно составить нулевую лин. комб., в к-й хотя бы один из коэф-в был отличен от нуля. Т.е. лин. незав., если =0 .

Пр. Покажем, что на пл-ти люб. три в-ра являются лин. зав-мыми:

Расс-м три ненулевых в-ра .

а) в-ы лин. зав.

б) в-ы лин. зав.

Опр.4Вект. пр-во наз. n- мерным, если в нем существует ровно n лин. нез. в-в, а любые (n+1) в-ра явл-ся лин. зав.

Пр. …, .

Утв. Пр-во n-мерных в-в яв-ся n-мерным. ( без. док-ва.).

Опр.5 Базисом n- мер. пр-ва наз. любая упорядоченная с-ма из n лин. нез. в-в.

ПР. Векторы - образуют базис в пр-ве .

Т. О разложении в-ра по базису.

Если в вект. пр-ве выбран базис, то любой в-р этого пр-ва м.б. представлен единст-м образом в виде лин. комб. в-в базиса. (такое представление наз. разложением в-ра по базису).

Т. о разложении в-ра по базису на пл. (док. сам.)

Пусть - два неколлинеарных в-ра – базис на плос-ти. Тогда всякий компланарный им в-р единственным. образом
м. представить в виде лин. ком. этих в-в.