Решение однородных систем.

Теорема Кронекера – Капели.

Пусть дана система из m –уравнений и n – неизвестных

(1)

В частном случае если m = n и detA ≠ 0, система совместна, имеет единственное решение и оно находится матричным способом, методом Крамера или методом Гаусса.

В общем случае возникает вопрос о ее совместности. Ответ на него дает теорема Кронекера – Капелли. Введем основную и расширенную матрицы системы.

- основная матрица;

- расширенная матрица.

Теорема(Кронекера – Капелли). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы .

Замечание:Ранг матрицы системы не может быть больше ранга основной матрицы.

Согласно теореме Кронекера – Капелли если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система не совместна.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Рассмотрим случаи для системы размерности :

1. Пусть ранг равен числу неизвестных . Поскольку число уравнений такой системы n равно рангу системы r, то система имеет единственное решение, которое можно найти известными методами (матричным, Крамера) или Гаусса.

Суть метода Гаусса состоит в том, что путем элементарных преобразований из всех уравнений системы, кроме первого, исключаем неизвестное , далее из всех уравнений системы, кроме первого и второго, исключаем неизвестное , и т. д.

Пример. Решить систему.

Запишем расширенную матрицу системы, поменяв местами 1 - е и 2 – е уравнение -это значение учитывается при подсчете определителя), получим:

= =

=

Матрица имеет диагональный вид. Определитель , значит , ранг равен числу неизвестных =4 - единственное решение. Согласно полученной матрице запишем систему эквивалентную исходной:

Применим обратный ход метода Гаусса.

Из последнего уравнения найдем =1 и подставим в 3-е уравнение, найдем , получим . Подставим и во 2-е уравнение , или и окончательно из первого уравнения или . Получили единственное решение системы.

Решение произвольных систем линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений (1)

(1)

Частный случай если m = n и detA ≠ 0, мы рассмотрели выше. В общем случае, когда система имеет размерность (m n) возникает вопрос о ее совместности. Ответ на него дает теорема Кронекера – Капелли.

Рассмотрим следующие случаи для системы размерности :

1. Пусть ранг равен числу неизвестных . В этом случае система имеет единственное решение. Из теоремы о ранге это означает, что система имеет r = nлинейно-независимых строк. Тогда рассматривают систему, состоящую из nуравнений. Ее можно решить известными уже методами (матричным, Крамера или Гаусса). Остальные m-nуравненийможно отбросить.

2. Если система в этом случае имеет множество решений. Оставляют только rуравнений. Остальные m-r уравнений отбрасывают. В оставленных rуравнениях слева оставляют те неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор. Остальные неизвестные n-r переносят вправо и считают их свободными.

Пример. Решить систему. Размерность системы .

видно, что тогда по теореме о ранге и ранг расширенной матрицы также будет то есть ранг системы r равен 2. Система совместна по теореме Кронекера - Капелли. Найдем минор второго порядка не равный нулю.

выделен базисный минор.

Поскольку r<n (n=4, r=2) то система имеет множество решений.Это соответствует второму случаю, согласно которому оставим r=2 уравнения, одно уравнение (m-r=3-2=1) отбросим. В оставленных уравнениях неизвестные , коэффициенты при которых вошли в базисный минор, оставим слева, остальные неизвестные будем считать свободными.

Сложим и найдем . Затем из первого найдем .

или или задавая различные значения и получим множество решений.

Решение однородных систем.

Опр. Система вида

называется однородной все b_i =0.

Однородная система всегда совместна, так как . Рассмотрим следующие случаи:

1) Если система имеет единственное решение, называемое тривиальным, то есть нулевым.

2) Если r<n то система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Решить систему.

строки линейно зависимы следовательно ранг r=2. Так как r<nто система имеет множество решений. Найдем базисный минор

получим умножим 1-е уравнение на 2 и сложим, получим х, затем 2-е уравнение умножим на (-2) и снова сложим, найдем у. Получим: или . Задавая различные значения z получим множество решений х и у.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: