Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Способы нахождения ранга.
1. Метод окаймляющих миноров.
Сначала находят минор k– го порядка не равный 0, затем вычисляют все окаймляющие миноры (k+1). Если они равны нулю, то все миноры более высоких порядков равны нулю. Тогда r(A)=k. Если среди (k+1) – го порядка найдется минор не равный 0, надо рассматривать все (k+2) – го порядка и т.д.
Пример:
А=
(3 5)
r(A) 3 Выберем минор , т.к. М= тогда М= окаймляющий минор М3= но другой М3= следовательно r(A)= 3.
2. Метод элементарных преобразований.
Опр. Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:
1.Транспонирование – замена строк столбцами;
2. Перестановка двух строк или двух столбцов;
3. Умножение всех элементов строки или столбца на число не равное 0;
4. Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца умноженных на одно и тоже число.
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Если в результате элементарных преобразований получена единичная матрица вида
То ее ранг будет равен числу единиц на главной
диагонали
| |
Если в результате элементарных преобразований получена ступенчатая (треугольная) матрица
,то ранг равен числу не нулевых элементов на главной диагонали.
Опр. Минор, с помощью которого устанавливается ранг матрицы, называется базисным минором. Базисных миноров может быть несколько.
Пример: Найти ранг.
3 Нахождение ранга матрицы с помощью теоремы о ранге.
Теорема (о ранге матрицы). Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r линейно независимых строк (столбцов) через которые линейно выражаются остальные ее строки (столбцы).
Пример: Найти ранг.
строки данной матрицы являются линейно зависимыми так как между ними имеется следующая зависимость или или видим, что строки - линейно выражаются через . Следовательно линейно независимы и по теореме о ранге – ранг равен двум .
Теорема Кронекера – Капели.
Пусть дана система из m –уравнений и n – неизвестных
(1)
В частном случае если m = n и detA ≠ 0, система совместна, имеет единственное решение и оно находится матричным способом, методом Крамера или методом Гаусса.
В общем случае возникает вопрос о ее совместности. Ответ на него дает теорема Кронекера – Капелли. Введем основную и расширенную матрицы системы.
- основная матрица;
- расширенная матрица.
Теорема(Кронекера – Капелли). Для совместности системы линейных алгебраических уравнений необходимо и достаточно чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы .
Замечание:Ранг расширенной матрицы системы не может быть больше ранга основной матрицы.
Согласно теореме Кронекера – Капелли если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система не совместна.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Рассмотрим случаи для системы размерности :
Пусть ранг равен числу неизвестных . Поскольку число уравнений такой системы n равно рангу системы r, то система имеет единственное решение, которое можно найти известными методами (матричным, Крамера) или Гаусса.
Суть метода Гаусса состоит в том, что путем элементарных преобразований из всех уравнений системы, кроме первого, исключаем неизвестное , далее из всех уравнений системы, кроме первого и второго, исключаем неизвестное , и т. д.
Пример. Решить систему.
Запишем расширенную матрицу системы, поменяв местами 1 - е и 2 – е уравнение (при этом -это значение учитывается при подсчете определителя), получим:
= =
=
Матрица имеет ступенчатый вид. Основная матрица имеет размерность , следовательно, ее ранг . Расширенная матрица Размера ее ранг также . Определитель основной матрицы , значит ранг основной матрицы . Расширенная матрица также будет иметь ранг . Обозначим , ранг равен числу неизвестных =4 - единственное решение. Согласно полученной матрице запишем систему эквивалентную исходной:
Применим обратный ход метода Гаусса.
Из последнего уравнения найдем =1 и подставим в 3-е уравнение, найдем , получим . Подставим и во 2-е уравнение , или и окончательно из первого уравнения или . Получили единственное решение системы.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|