Сделай Сам Свою Работу на 5
Главная | Контакты

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

123456




Равными называются два сонаправленных вектора, имеющих равные модули. Равные векторы также называют свободными.

Два вектора, равные третьему вектору, равны.

Вектор можно перемещать вдоль прямой, совпадающей с его направлением и переносить его параллельно самому себе в любую точку пространства.

D С

A В ↑↑

| |=| | =

 

В параллелепипеде АВСDА1В1С1 D1 изобразить векторы: сонаправленные, противоположно направленные, равные.

три группы коллинеарных,сонаправленных

D1 C1 векторов: . . .

А1 В1 = - равные векторы

D C

А В

D1 C1 Векторы ;

коллинеарны е, противоположно направленные

А1 В1

D С

 

 

Компланарными называются три вектора, если при откладывании их от одной точки они лежат в одной плоскости.

Любые два вектора - компланарные.

Три вектора, два из которых коллинеарные, - компланарные.

В1 С1 Векторы компланарные

А1 D1

 

В С

А D

 

 

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Координаты точки – это числа, соответствующиеее проекциям на оси координат. Проекциями произвольного отрезка на оси координат являются проекции этого отрезка на оси координат.



Для вектора , имеющего начало в точке О(0;0), координаты точки А являются

координатами вектора. Записывается: { хА; уА }. Такая запись называется: «Запись вектора в координатной форме». Пусть А(3;2), тогда { 3;2 }.

 

При выполнении действий с векторами единицы масштаба

у называют координатными векторами(ортами) и обозначают: по оси

абсцисс, и по оси ординат и по оси аппликат.
В нашем случае = 3 =2 (на плоскости)

проекция вектора на ось 0х равна 3 ; на ось 0у равна 2 .

 

уА А (3;2)

И по правилу сложения векторов = х +у .

Такая запись называется: «Разложение вектора по ортам»

в нашем случае = 3 +2 .

0 хА х

Если начало вектора не совпадает с началом координат, то координатами вектора являются его проекции на оси координат: (хВ– хА , уВ– уА). И тогда в координатной форме вектор записывается: { (хВ–хА); (уВ–уА) }. В нашем случае: А(1;3), В (4;5), и в координатной форме вектор записывается: { 3; 2 }, а егоразложение по ортам: = 3 + 2 .

у

 

уВ В (4;5) В прямоугольном треугольнике АСВ: катеты АС и ВС,



гипотенуза - вектор { 3; 2 }, и по теореме Пифагора

у длина вектора, или его модуль вычисляется по формуле

| | = , (1)если

уА А(1;3) С заданы координаты точек А и В;

или | | = , (2)если

векторзадан в координатной форме или в виде

0 хА х хВ х разложения по ортам.

 

Если 0х, то проекции точек А и В совпадают и проекция вектора ось 0х равна 0

у z Для трехмерного пространства

 

пр.Оz

пр.Оу

0у

Х

На плоскости пр.Ох = 0

х

 

 

Для трехмерного пространства во всех формулах добавляется третья координата:

{ (хВ–хА); (уВ–уА);(zB - zA)},

= x + y +z

| | = .

 

Проекция вектора на ось равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью: пр.Ох = | | ·cos .


Проекция вектора на ось положительное число (+),если

направление вектора совпадает с положительным направлением оси,

х т.е. = пр.Ох = | | ·cos .

Проекция вектора на ось отрицательное число (–),если

вектор и ось имеют противоположные направления.

или если < < π пр.Ох = - | | ·cos .

 

х

1.Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны.

2. В данной системе координат каждый вектор имеет единственный набор координат.

3. Координаты вектора, отложенного от произвольной точки, равны разности
соответствующих координат его конца и начала.

4.Векторы параллельны (коллинеарные) тогда и только тогда, когда их координаты
пропорциональны

1.Записать координаты вектора: = 4 + 5 + 3 z

= 4 + 5 +3 { 4; 5; 3}

Графически это означает: 3

А (4;5; 3)

0 5 у

4

х А1(4;5)

2. Записать координаты векторов:

= – 4 + – { –4; 1; –1 }

= – 2 + { 0; – 2; 1 } ; = + { 0; 1; 1}

= – {–1; 0; 1 }; = 0,7 { 0; 0; 0,7}



 

3. Если вектор отложен от начала координат, то координаты вектора равны координатам конца вектора. Векторы 1 ; 1; 1; 1 в этом случае называются радиус-векторами.

Упрямоугольного параллелепипеда ОА = 2, ОС = 3, ОО1 = 2.

Найдите координаты векторов 1 ; 1; 1; ; ; ;

 

z

O1 А1 (2; 0; 2) 1 { 2; 0;2 } 1 = 2 + 2 ,

С1

A1 В1

2

O 3 С В1 ( 2; 3; 2) 1 { 2; 3; 2} 1 = 2 + 3 + 2

2 у

х A BО1( 0; 0; 2) 1 { 0; 0; 2} 1 = 2 ,

С1(0,3;2); О1(0,0;2); А(2,0;0); С(0,3;0); В( 2; 3; 0)

 

{ - 2,3; 2 } ; {- 2, 0; 2 } ; { 0; 3; -2}

4.Найти длину радиус- векторов , , , если А(0,2;5); В(-1; 3; ); С(3; -2; 2 ).

| | = = =

| | = = = 4

| | = = = 5

5.Даны две координаты вектора {4; -12; z} . Найти его третью координату, если:| | =13

 

| | = 132 = 16 + 144 + z2 z2 = 9 z = ± 3

6. Какие координаты имеет вектор , если А(1;2;3): = + 2 + 3

А(-5;4;-1): = -5 + 4 -

 

7. Назовите координаты векторов: а) =– 2 + 6 ={ – 2; 6 }

б) = + 3 { 1; 3} в) = – 3 { 0;– 3} d) = – 5 { –5; 0}

 

8. Разложите по координатным векторам , если А(0;0;2) и С(0;2;0)

 

= 0 + 2 –2 , = 2 –2

 

8. Даны точки А(2; –3: 0); В(7; –12; 18); С (–8; 0; 5). Записать координаты векторов

; ; { 2; –3: 0} { 7; –12; 18 } { –8; 0; 5}

 

Письменно ответьте на вопросы

  1. Что называется вектором?
  2. Что называется модулем вектора?
  3. Какие векторы называются нулевыми? Равными?
  4. Какие векторы называются коллинеарными? Компланарными?
  5. Что называется координатами вектора?
  6. В каком случае координата вектора равна нулю?
  7. Сформулируйте признак коллинеарности векторов.
  8. В каком случае все три координаты вектора равны нулю?
  9. Что называется разложением вектора по координатным векторам?
  10. Что означают числа х, у, z при записи вектора в координатной форме?
  11. Какова связь между проекцией вектора на ось, модулем вектора и углом между вектором и координатной осью?

 

Выполните задания:

1.Даны векторы { 3; 2; 1} ; { 1; –3; 5 } ; { – ; 0,75; –2 } . Запишите координаты точек А(2; –3: 0); В(7; –12; 18); С (–8; 0; 5).

2. Запишите в координатной форме ВС, если С(-2; 1; 3); В(3; -2; 1)

3. Вершины куба имеют координаты А(3;-1;1); В(-1;-1;1); С(-1; 3; 1); С1 (-1; 3; 5).

а) найдите координаты вершин В1 и D1

б) разложите по координатным векторам векторы: и

 

4. Векторы и равны. Найдите координаты точки А, если { – 1; 2; 4 } и С(2;0;5)

 

5. Определить, при каких значениях т векторы и равны, если { 2т; 2 } и {т; 1}.

 

6. Найдите значения т и п, при которых векторы и удут коллинеарными, если { 1; – 2; т },

{ п; 6; 3 }.

 

7. Векторы { 10; т; 5 } и { п; 3; 2} коллинеарные. Найти значения т и п .

8.Даны точки А(2; –3: 0); В(7; –12; 18); С (–8; 0; 5). Записать координаты векторов

; ;

 

9. Найти координаты вершины D параллелограмма АВСD, если А(3; 0; 1); В(4; 2; –1); С (1; 2; 5);

10. Проверить, являются ли точки А(– 4; – 4); В(–3; 4); С (4; 5); D(10; –2) вершинами трапеции

АВСD.

 

 

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА
ЧИСЛО.

Векторная алгебра - раздел математики, изучающий векторы. Векторная алгебра является одним из основных средств исследования в физике и разных разделах математики. В векторной форме записываются многие законы физики и механики, И в геометрии аппарат векторов позволяет кратко записывать формулировки задач и их решения, например, теорема о средней линии треугольника в векторной форме записывается так

А , а доказывается в одну строку:

 

К L

 

 

В С

 

Чтобы объединить преимущества координатного и векторного методов, для векторов введены координаты. Это позволяет свести действия с векторами к аналогичным действиям с их координатами, и проводить действия с векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные множители.

 

 



123456




Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.