Сделай Сам Свою Работу на 5

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ





Система нелинейных уравнений с р неизвестными обычно имеет вид

 

fi (x1, .... хр) = 0, i=1, .... р,

 

где хотя бы одна функция fi нелинейная.

Для решения такой системы в редких случаях можно применить метод последовательного исключения неизвест­ных, который приводит решение системы к решению одного нелинейного уравнения с одним неизвестным с последующей подстановкой.

Например, для решения нелинейной системы

 

x y2 +4 = 0,

x - y2 +5 = 0

 

из второго уравнения найдем х = у2 — 5 и подставим в первое, получим уравнение с одним неизвестным: у22 - 5) + 4 = 0, корни которого

y1 = 1, у2 = - 1, y3 =2, y4 = -2.

Следовательно, решениями системы являются точки

 

A (-4, 1), В(- 4, -1), С( -1, 2), D( - 1, -2).

 

Однако в подавляющем большинстве случаев нели­нейные системы решают итерационными методами.

 

Метод простой итерации

 

Метод простой итерации применим к системам, кото­рые предварительно приведены к виду x1 = φ1 (x1, .... хр)

…………………………………………. (6.1)

xp = φp (x1, .... хр)

или, в векторной форме, х = Ф(х). (6.2)

Пусть x(0) = (x1(0), .... хр(0) ) начальное приближение. Последующие приближения в методе простой итерации находятся по формулам



 

x1(m+)1 = φ1 (x1(m), .... хр(m) ),

x1(m+1) = φ1 (x1(m), .... хр(m) ,), (6.3)

……………….….

x1(m+1) = φ1 (x1(m), .... хр(m) ),

 

или, в векторной форме, х(m+1)= Ф(х(m) .(6.4)

 

Если последовательность векторов х(т) = (x1(m), .... хр(m) )

сходится к вектору x* = (x1*, ..., хp*), а функции φi (x) непрерывны, то вектор х* является решением системы (6.2). Для получения условий сходимости метода итера­ций введем в р-мерном векторном пространстве какую-либо норму (например, кубическую, октаэдрическую или сферическую).

Теорема 3. Пусть для уравнения (6.2) и начального приближения х(0) выполнены условия:

1) для х', х" из сферы

||х-х(0)|| ≤ δ (6.5)

вектор-функция Ф удовлетворяет условию ||Ф (х')-Ф (х")|| ≤ q ||х'-х"||, (6.6)

где 0 < q < 1;

2) ||Ф (х(0)) – х0|| ≤ (1 – q) δ ,

Тогда уравнение (6.2) в сфере (6.5) имеет единствен­ное решение х*, к нему сходится последовательность (6.4) и погрешность метода оценивается неравенством

||х(m)*|| ||Ф (х(0)) – х0|| . (6.7)

Сходимость метода итераций считается хорошей, если q ≤ 1/2

Приведем достаточное условие, обеспечивающее вы­полнение неравенства (6.6) в кубической норме. Сфера (6.5) в кубической норме является р-мерным кубом с центром в точке x(0) = (x1(0), ..., х(р0)):



||х-х(0)|| = . (6.8)

 

Предположим, что в кубе (6.8) функции φi ( i = 1, ..., р ) имеют непрерывные частные производные φi / xk, k = 1,... ..., р. Неравенство (6.6) будет выполнено, если φi / xk, удовлетворяют в кубе (6.8) условию

 

(6.9)

Пример. Методом простой итерации найти реше­ние системы

 

f1 (x, y) = 2x – sin 0,5 (x - y) = 0,

f2 (x, y) = 2y – cos 0,5 (x + y) = 0,

 

с точностью ε = 10 -2.

Решение. Графически отделяем корни системы. Из рис. 5.1 видно, что корень единственный и расположен в квадрате |х| ≤ 0,5, |у — 0,5| ≤ 0,5.

Рис. 6.1

 

Преобразуем данную систему к виду

 

х = 0,5 sin 0,5 (х - y) ≡ φ1 (х, у),

y = 0,5 cos 0,5 (х + y) ≡ φ2 (х, у).

 

Убеждаемся, что неравенство (6.9) выполнено q ≤ 0,5. За начальное приближение возьмем хо = 0, уо = = 0,5. Дальнейшие вычисления отражены в табл. 6.1.

 

Таблица 6.1

 

п хп yn 0,5 ( xn - yn ) 0.5( уn + хn ) sin 0,5 п - уп) cos 0,5 (хп + уп)
0,5 -0,25 0,25 - 0,234383 0,968913
-0,117160 0,48446 -0,30081 0,18365 -0,29659 0,98318
-0,148295 0,491592 -0,31994 0,171648 -0,31452 0,98530
-0,157246 0,492652 - 0,324949 0,167703 -0,31926 0,98597

Метод Ньютона

 

Метод Ньютона применяется к решению систем урав­нений вида

 

fi1..., хр) = 0, I = l , ..., р, (6.10)

или, в векторной форме,

F(x) = 0. (6.11)

 

Введем матрицу Якоби J(х) для функций fi(х), I = l, ..., р, которые будем предполагать непрерывно дифференцируемыми:

 

J(x) = .(6.12)

……………………………

Пусть задано начальное приближение х(0). Вместо нелинейного уравнения (6.11) решаем линейное урав­нение



F(x(0)) – J(х(0)) (х-х(0)) = 0.(6.13)

 

Если det J (х(0)) ≠ 0, то уравнение (6.13) имеет единст­венное решение, которое обозначим х(1). Здесь удобно решать уравнение (6.13) относительно х(0) = х - х(0), а затем вычислять x(l) = x(0) + x(0). Если найдено x(т) то х(m + 1) вычисляем по формуле x(m+1) = х(m) + х(m), а по­правку х(m) = ( х1(m), ..., хp (т)) находим из системы

 

F(x(m)) – J(х(m)) (х-х(m)) = 0.

 

которая в координатной форме имеет вид

 

f1(х(m)) + х1(m)+ … + хp(m) = 0,

(6.14)

fp(х(m)) + х1(m)+ … + хp(m) = 0.

Для системы второго порядка

f (x, y) = 0,

g (x, y) = 0

 

последовательные приближения по методу Ньютона вы­числяются по формулам

 

xn+1 = xn - , yn+1 = yn - ,

где

f {хп, уп) fy '(хп, уп)

Аn =

g(xn, yл) gy'(xn, yn) ,

 

fx '(хп, уп)f (хп, уп)

Bn =

gx'(xn, yn) g(xn, yл) ,

fx '(хп, уп)fy '(хп, уп)

Jn = ≠ 0.

gx'(xn, yn) gy'(xn, yn)

Метод Ньютона сходится, если начальное приближе­ние выбрано удачно и матрица J(х*) невырожденна. На практике итерации обычно оканчивают, если ||x(n+1)- х(n)|| ≤ ε. Для выбора начального приближения применяют графический метод, метод проб, метод табу­лирования и т. д.

 

Рис. 6.2

Пример. Найти решение системы

f (x, y) = х 3 - у2 – 1 = 0,

g (x, y) = ху3 - у - 4 = 0

методом Ньютона с точностью ε =10-3.

Решение. Графически находим начальное прибли­жение хо=1,5, y0 = 1,5 (рис. 6.2).

Матрица Якоби име­ет вид

3 х2 - 2у

J(x,y)= .

у3 3x у2 - 1

       
   


Дальнейшие вычисления отражены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

 

п хп yn f (хп, уп) g(xn, yл) Jп Ап Вn
1,5 1,5 0,12500 -0,43750 71,71875 -0,171875 -3,3750
1,502397 1,547059 -0,002170 + 0,015844 77,73277 0,0277998 0,1153255
1,5020396 1,545570 0,0000017 0,000019      

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Госиздат, 1962.- 639с.

2. Быховцев В.Е., Быховцев А.В., Бондарева В.В. Компьютерное моделирование систем нелинейной механики грунтов. -Гомель: УО «ГГУ им.

Ф. Скорины», 2002.-215с.

3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.:Наука, 1970.

4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и за дачах. - М.:Наука, 1972.

5. Крылов В.И.,Бобков В.В., Монастырный П.И. Выислительные методы. - М.: Наука, 1977.- 399с.

6. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричных линейных систем (прямые методы). - М.: Наука, 1988.- 160с.

7. Фаддеев А.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Госиздат, 1960.- 656с.

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Вергасов В.А. и др. Вычислительная математика. -М.: Недра, 1976.- 230с.

2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы.- М.:Наука, 1966.

3. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.:Наука, 1982.

 

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.