Абсолютная величина и норма матрицы

Основные определения

Система т п чисел (действительных или комплексных), располо­женных в прямоугольной таблице из т строк и п столбцов,

(3.1)

называется матрицей. Строки и столбцы таблицы (3.1) называются рядами матрицы.

Числа a_ij (i = 1, 2, .... т; j = 1, 2, . .., n), составляющие дан­ную матрицу, называются ее элементами. Здесь первый индекс i обозначает номер строки элемента, а второй j — номер его столбца.

Для матрицы (3.1) часто употребляется сокращенная запись

А = [ a_ij ] a_ij (i = 1, 2, .... т; j = 1, 2, . .., n)или А = [ a_ij ]_m,n ,

причем говорят, что матрица А имеет тип m n.

Если т = п, то матрица называется квадратной порядка п. Если же т ≠ п, то матрица называется прямоугольной. В частности, матрица типа 1 n называется вектором-строкой, а матрица типа m 1 - вектором-столбцом. Число (скаляр) можно рассматривать как матрицу типа 1 1. Квадратная матрица вида

A = (3.2)

называется диагональной и обозначается кратко так: [ ]. Если в (3.2) все α_i = 1, то такая матрица называется единичной и обозначается буквой Е .

Действия с матрицами

3.2.1. Сумма и разность матриц

Суммой (разностью) двух матриц А = [а_ij ]и B =[b_ij ]одинакового типа называется матрица С = [с_{i j}]того же типа, элементы которой с_{i j}= а_ij + b_ij или

с_{i j}= а_ij - b_ij соответственно.

Из определения суммы матриц непосредственно вытекают сле­дующие ее свойства:

1) А + (В + С) = (А + В) + С;

2) А + В = В + А ;

3) А + 0 = А .

Умножение матриц

а)Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А = [а_ij ]на число α (или произведе­нием числа αна матрицу А) называется матрица, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы А на число α .

Заметим, что если матрица А - квадратная порядка n, то det α A = α ⁿ det A.

б) Умножение матриц

Пусть А = [а_ij ]и B =[b_ij ]матрицы типов соответственно m n и р q. Если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т. е. п = р, то для этих матриц определена матрица С типа m q называемая их произведением, при этом c_ij = а_i1 b_1j + а_i2 b_2j + … + a_in b_nj , (I = 1, 2,…,m; j = 1, 2,. . ., q).

Изопределения вытекает следующее правило умножения матриц: чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй и полученные произведения сложить.

Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица А содержит в строках столько элементов, сколько элементов имеется в столбцах матрицы В. В частности, можно перемножать квадратные матрицы лишь одинакового порядка.

Произведение двух матриц не обладает переместительным свой­ством, т. е., вообще говоря, АВ ≠ В А, в чем можно убедиться на примерах.

Более того, может даже случиться, что произведение двух матриц, взятых в одном порядке, будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном порядке, смысла иметь не будет.

В тех частных случаях, когда АВ = В А, матрицы А и В назы­ваются перестановочными (коммутативными). Так, например, как нетрудно убедиться, единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем

АЕ = ЕА = А.Таким образом, единичная матрица Е играет роль единицы при умножении. Если А и В — квадратные матрицы одного и того же порядка, то

det (АВ) = det (ВА) = det A • det В.

Эта формула вытекает из правила перемножения определителей.

в) Обратная матрица

Определение 1. Обратной матрицей по отношению к дан­ной называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

Для матрицы Аобозначим обратную ей матрицу через А^-1. Тогда по определению имеем:

АА^-1 = А^-1 А = Е,

где Е— единичная матрица.

Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы.

Определение 2. Квадратная матрица называется неособенной, если определитель ее отличен от нуля.

В противном случае матрица называется особенной, или сингу­лярной.

Теорема. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Абсолютная величина и норма матрицы

Неравенство А ≤ В между матрицами А = [а_ij ]и B =[b_ij ]одинаковых типов обозна­чает, что а_ij ≤ b_ij . В этом смысле не всякие две матрицы сравнимы между собой.

Под абсолютной величиной (модулем) матрицы А= [а_ij ]будем понимать матрицу | А| = [| а_ij| ]

где | а_ij| — модули элементов матрицы А.

Если А и В— матрицы, для которых операции А + В и АВ имеют смысл, то:

а) | А + В | ≤ | А | + | В |;

б) | А В | ≤ | А | · | В |;

в) | α А | = | α | · | А |; |

(α — число).

Под нормой матрицы А = [а_ij ]понимается действительное число || A ||, удовлетворяющее условиям:

а) ||A|| ≥ 0, причем ||A]| =0 тогда и только тогда, когда A = 0;

б) || α А || = | α | · ||А ||( α — число) и, в частности, || - А || = ||А ||;

в) || А + В || ≤ || А || + || В ||;

г) || А В || ≤ || А || · || В ||;

(А и В — матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл).

В дальнейшем для матрицы А = [а_ij ]произвольного типа мы будем рассматривать главным образом три легко вычисляемые нормы;

1) || А || _m = | а_ij| (т-норма);

2) || А || _l = | а_ij| (l-норма);

3) || А || _l = (k -норма).

ЛЕКЦИЯ № 7

4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

4.1 Классификация методов решения систем линейных

алгебраических уравнений

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводится подавляющее большинство задач вычислительной математики. В настоящее время предложено огромное количество алгоритмов решения таких систем.

Все методы решения линейных алгебраических уравнений можно разделить на две большие группы: прямые и итерационные. В прямых (или точных) методах решение системы находится за конечное число арифметических действий. Итерационные методы позволяют найти за конечное число итераций приближенное решение системы с любой наперед заданной точностью .

Примером прямого метода решения СЛАУ служит метод Крамера, в соответствии с которым

, .

Однако на практике этот метод не используется, так как он требует выполнения очень большого количества арифметических операций. Большая часть существующих прямых методов укладывается в следующую схему. Пусть задана система

(4.1)

линейных алгебраических уравнений. Умножим обе части равенства (4.1) слева на такие матрицы , при которых новая система

(4.2)

равносильна исходной и легко решается. Для этого достаточно, чтобы матрица

была треугольной или диагональной. Методы, основанные на подобных преобразованиях, составляют в настоящее время самую значительную группу среди численных методов задач алгебры.

Одним из старейших является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Он использует левые треугольные матрицы и позволяет свести исходную систему уравнений к системе с правой треугольной матрицей. Этот метод легко реализуется на компьютере, его схема с выбором главного элемента позволяет решать системы с произвольной невырожденой матрицей, а компактная схема – получить результаты с повышенной точностью. Среди всех прямых методов метод Гаусса требует минимального объема вычислений.

Непосредственно к методу Гаусса примыкают метод Жордана и метод оптимального исключения. Эти методы используют треугольные матрицы (как левые, так и правые) и позволяют привести исходную систему к системе с диагональной матрицей. Метод оптимального исключения позволяет при заданном объеме оперативной памяти решать системы более высокого порядка, чем метод Жордана.

Перечисленные методы входят в группу методов исключения. Это название объясняется тем, что при каждом умножении на матрицу в матрице системы исключается один или несколько элементов. Существуют методы решения систем, которые сочетают в себе как свойства прямых методов, так и итерационных. Как итерационные они построены на минимизации некоторого функционала, достигающего своего минимума на решении системы (4.1). Однако итерации обрываются не позднее чем на -ом шаге ( - порядок системы), давая точный ответ. К таким методам относится метод сопряженных градиентов.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: