Векторы и линейные операции над ними

12 3

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

Методические указания

К выполнению индивидуальных заданий

по теме:

«Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии»

Волгодонск

Элементы векторной алгебры

Векторы и линейные операции над ними

В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальной А и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка и , имеющие равные длины и одно и то же направление, определяют (изображают) один и тот же вектор , и пишут .

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Если вектор изображается направленным отрезком , то вектор, изображаемый направленным отрезком , называется вектором, противоположным вектору и обозначается - .

Для векторов вводятся операции сложения и вычитания. При этом заметим, что знаки «+» и «-», которые ставятся между векторами, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое, а геометрическое сложение векторов по правилу треугольника или параллелограмма.

Произведением вектора на число называется вектор , имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .

Сложение векторов и умножение их на число называются линейными операциями над векторами. Эти операции обладают свойствами по форме аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.

Осью называется прямая l, положительное направление которой задается единичным вектором . Пусть - произвольный вектор, а А₁, В₁ортогональные проекции точек А и В на ось l.

Проекцией (или компонентой) вектора на ось l называется направленный отрезок на оси, началом которого служит проекция начала вектора , а концом - проекция конца этого вектора (рис.1). Очевидно, что компонента и вектор коллинеарны. Значит существует число (обозначим его ), такое, что . Число называется величиной проекции или координатой вектора на ось l и обозначается или . Координата численно равна модулю компоненты , взятой со знаком «+», если и со знаком «-», если . Справедливо равенство . Часто именно это число называют проекцией вектора на ось l.

Пусть - векторы, а - действительные числа.

Вектор называется линейной комбинацией векторов .

Например, вектор является линейной комбинацией векторов .

Если вектор представлен как линейная комбинация некоторых векторов, то говорят, что он разложен по этим векторам. В нашем примере вектор разложен по векторам .

Система n векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от нуля. Иными словами, векторы называются линейно независимыми, если равенство возможно лишь тогда, когда все . В противном случае система векторов линейно зависимая.

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для трех векторов – их компланарность.

Если мы имеем два неколлинеарных вектора и , то всякий третий компланарный им вектор может быть единственным способом разложен по векторам и , т.е. представлен как сумма двух векторов, соответственно им компланарных: .

Если мы имеем три некомпланарных вектора , и , то всякий четвертый вектор может быть однозначно разложен по векторам , и , т.е. представлен как сумма трех векторов соответственно им коллинеарных: .
Между четырьмя векторами существует линейная зависимость: , где не равны нулю одновременно.

Система n линейно независимых векторов в n -мерном пространстве называется базисом этого пространства.

На плоскости два неколлинеарных вектора , а в пространстве тройка некомпланарных векторов , взятых в определенном порядке, образуют базис.

Базис называется ортонормированным, если векторы взаимно перпендикулярные и единичные. Этот базис часто используется на практике и имеет специальное обозначение .

Говорят, что в пространстве задана прямоугольная (декартовая) система координат, если в этом пространстве указан ортонормированный базис и фиксированная точка О (начало координат), являющаяся общим началом базисных векторов. Векторы определяют положительное направление трех координатных осей: Оx (оси абсцисс), Oy (оси ординат) и Oz (оси аппликат), соответственно.

В пространственной прямоугольной системе координат вектор может быть представлен следующим образом: , где - координаты вектора относительно базиса , которые совпадают с проекциями вектора на соответствующие оси. Это векторное равенство часто записывают в символической форме: .

Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты и , то координаты вектора находятся как разности

соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.

а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:

Если учесть при этом, что , то выражение для модуля вектора можно записать так: .

Пусть углы вектора с осями Ox, Oy, Oz соответственно равны .

Направляющие косинусы вектора определяются по формулам: ; ; .

Эти числа являются координатами орта , т.е. , и связаны равенством .

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

Линейные операции над векторами, заданными своими координатами и , выполняются по следующим правилам:

1) при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются: ;

2) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: .

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т.е. .

Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны.

Итак, если ½½ , то или .

Умножение векторов

Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;

2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов).

Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: .

Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно.В результате получают число.

Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Указанные произведения векторов и их свойства достаточно просто выражаются через их прямоугольные координаты, т.е. координаты векторов в базисе , по сравнению с аналогичными выражениями в произвольном базисе , которых мы не приводим.

Пусть заданы два вектора и .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

Угол между векторами вычисляется по формуле

или в координатной форме .

Проекция вектора на ось вектора находится из соотношения:

или в координатной форме .

Если учесть, что - орт вектора, то .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов и следующим образом:

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. ½½ .

Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

Переход к новому базису

Координаты вектора зависят от выбора базиса. Выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении координат вектора в одном базисе по его координатам в другом базисе. Выясним, как устанавливается связь между координатами одного и того же вектора в различных базисах.

Пусть в пространстве имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов (i =1,2,3) нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Матрица (i,k=1,2,3) называется матрицей перехода от старого базиса к новому. Базисные векторы (i =1,2,3) линейно независимы, поэтому матрица неособенная.

Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами некоторого вектора в разных базисах. Пусть этот вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т.е. и

Подставив значения из предыдущей системы в первое равенство

для вектора и учитывая второе равенство, получим систему уравнений:

Как нетрудно заметить, матрицей перехода от новых к старым координатам будет транспонированная матрица . В матричном виде взаимосвязь между старыми координатами и новыми выражается следующими равенствами:

и .

Пример. В базисе заданы векторы и вектор . Показать, что векторы (i =1,2,3) образуют базис в трехмерном пространстве и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим векторное равенство или

Задача сводится к решению системы:

Определитель системы не равен нулю. Следовательно, однородная система имеет только нулевое решение , значит векторы линейно независимы и образуют базис.

Связь между старым базисом и новым выражается системой уравнений:

Матрица перехода от старого базиса к новому имеет вид

Вычисляем . Она имеет вид

Находим транспонированную матрицу

Координаты в новом базисе находим из равенства

Новые координаты вектора в базисе есть (9/6, 5/6, 1/6) и вектор может быть представлен в виде:

Решение типовых задач

Пример. В некотором базисе заданы три вектора , а также вектор . Показать, что векторы (i =1,2,3) образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Покажем, что векторы (i =1,2,3) – линейно независимы. Пусть линейная комбинация этих векторов обращается в нуль, т.е.

Это же равенство удобно записать в матричной форме:

Задача сводится к решению системы:

Убеждаемся в том, что определитель системы не равен нулю. Поэтому однородная система имеет только нулевое решение. Следовательно, , а векторы – линейно независимы и в трехмерном пространстве образуют базис. Пусть – координаты вектора в этом базисе. Это означает, что вектор представим в виде