VI. Прямая в пространстве

IV. Векторная алгебра

4.1. Найдите расстояние между точками и .

4.2. Найдите координаты середины отрезка , где , .

4.3. Найдите направляющие косинусы вектора .

.

.

.

.

.

4.4. Найдите углы наклона вектора к осям координат.

.

.

.

.

.

4.5. Найдите скалярное произведение векторов и , если известно, что , , а скалярное произведение .

–15

–1

4.6. В каком случае скалярное произведение двух векторов отрицательно?

Если угол между ними тупой.

Если векторы взаимно перпендикулярны.

Если векторы одинаково направлены.

Если угол между ними острый.

Если векторы противоположно направлены.

4.7. Может ли скалярное произведение быть больше произведения длин векторов-сомножителей?

Нет, не может.

Может, если угол между ними равен .

Может, если угол между ними равен нулю.

Может, если угол между ними тупой.

Может, если векторы перпендикулярны.

4.8. Найдите косинус угла между векторами и .

4.9. Найдите проекцию вектора на направление вектора .

–1

–3

4.10. При каком значении векторы и ортогональны?

При .

При .

При .

При .

При .

4.11. При каких значениях и векторы и будут коллинеарными?

При .

При .

При .

При .

Ни при каких.

4.12. Выясните, является тройка , и правой или левой.

Правой.

Левой.

Ни правой, ни левой, так как векторы компланарны.

Ни правой, ни левой, так как векторы коллинеарны.

4.13. Найдите длину векторного произведения , если , и их скалярное произведение равно .

4.14. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

4.15. При каком векторы , , будут компланарными.

При .

При .

При .

При .

Ни при каком.

4.16. Найдите смешанное произведение векторов , , .

–1

–2

4.17. Найдите объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , , .

4.18. Найдите вектор, перпендикулярный векторам и , составляющий тупой угол с осью ординат и такой, что его длина равна .

4.19. Найдите координаты вектора , где , .

4.20. При каком векторы и перпендикулярны?

При .

При .

При .

При .

Ни при каком.

4.21. Вычислите векторное произведение , если и .

.

.

.

.

.

4.22. Даны векторы , и . Вычислите скалярное произведение .

4.23. Какой из приведенных ниже векторов ортогонален векторам и ?

.

.

.

.

.

4.24. Вычислите углы треугольника с вершинами , и .

, , .

, , .

, , .

, , .

, , .

4.25. Упростите векторное произведение .

4.26. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

… .

… .

… .

… .

… .

4.27. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

… .

… .

… .

… .

… .

4.28. Длина векторного произведения векторов и равна…

…3.

…1.

… .

…2.

…10.

IV-а. Векторная алгебра

4-а.1. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов-сомножителей, если …

… векторы коллинеарны.

… векторы ортогональны.

# … угол между векторами равен нулю.

… угол между векторами равен .

… хотя бы один из векторов ненулевой.

4-а.2. Векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда …

… вектор перпендикулярен вектору .

# … длины векторов и равны.

… один из векторов является нулевым.

… векторы и коллинеарны.

… ни один из векторов и не является нулевым.

4-а.3. Пусть и . Скалярное произведение . Тогда …

# … .

… .

… .

… .

… .

4-а.4. Даны точки и . Тогда координаты вектора составляют …

…

…

…

…

# …

4-а.5. Направляющие косинусы вектора равны …

… .

.

.

# … .

.

4-а.6. Известно, что , , а скалярное произведение . Тогда скалярное произведение векторов и равно …

… 2.

# … 3.

…–1.

… 1

… .

4-а.7. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, если …

… если угол между векторами тупой.

# … если векторы взаимно перпендикулярны.

… если векторы одинаково направлены.

… если угол между векторами острый.

… если векторы противоположно направлены.

4-а.8. Косинус угла между векторами и равен …

… .

… .

# … .

… .

… .

4-а.9. Проекция вектора на направление вектора равна …

… 7.

… .

… .

… .

# … 8.

4-а-.10. Пусть и . Тогда вектор имеет координаты …

# … .

… .

… .

… .

… .

4-а.11. Векторное произведение — это …

… площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

… площадь треугольника, построенного на векторах и .

… произведение длин векторов и на косинус угла между ними.

# … вектор, перпендикулярный векторам и .

… произведение длин векторов и на синус угла между ними.

4-а.12. В результате упрощения векторного произведения получим …

… .

# … .

… .

… .

… .

4-а.13. Векторы , будут коллинеарны …

… при .

… при .

… при .

… при .

# … ни при каком .

4-а.14. При перестановке сомножителей в векторном произведении …

… оно не меняется.

… оно обращается в ноль.

# … оно меняет знак.

… получается вектор, ортогональный первоначальному произведению.

4-а.15. Площадь треугольника равна 3. Тогда длина векторного произведения равна …

# … 6.

… 3.

… 9.

… .

… .

4-а.16. Пусть , , их скалярное произведение . Тогда длина векторного произведения равна …

… 60.

# … 48.

… 24.

… 36.

… 12.

4-а.17. Векторы и ортогональны при …

… .

… .

… .

… .

# … .

4-а.18. Смешанное произведение трех взаимно перпендикулярных векторов …

… равно нулю.

… равно произведению длин векторов-сомножителей.

# … равно произведению длин векторов-сомножителей, если тройка является левой.

… равно произведению длин векторов-сомножителей, если тройка является левой.

… равно произведению длин векторов-сомножителей, если тройка является правой.

4-а.19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , , , равен …

… 1.

… 2.

… 3.

# … 6.

… 12.

4-а.20. Даны векторы , и . Тогда векторное произведение равно …

… .

… .

# … .

… .

… .

4-а.21. Длина векторного произведения векторов и равна …

…3.

# … .

… .

… .

… .

4-а.22. Смешанное произведение векторов , и равно …

# … 39.

… .

… 33.

… .

… 13.

4-а.23. Вектор , удовлетворяющий уравнению , равен…

… .

… .

# … .

… .

… .

4-а.24. Векторы и перпендикулярны …

… при .

# … при .

… при .

… при .

…при .

4-а.25. Пусть скалярное произведение , угол между векторами и равен . Тогда скалярный квадрат векторного произведения этих векторов

(т.е. ) равен …

…2.

# …3.

…4.

…1.

…6.

V. Плоскость

5.1. Найдите, при каком значении плоскость будет перпендикулярна плоскости .

При .

При .

При .

При .

При .

5.2. Найдите, при каких и плоскости и параллельны?

При .

При

При

При .

При .

5.3. Найдите угол между плоскостью и координатной плоскостью .

5.4. Найдите расстояние от точки до плоскости .

5.5. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

5.6. Найдите плоскость, проходящую через точку и прямую пересечения плоскостей и .

5.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

.

.

.

.

.

5.8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой , где и .

.

.

.

.

.

5.9. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

.

.

.

.

.

5.10. Найдите угол между плоскостями и .

5.11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку , если нормальный вектор этой плоскости .

.

.

.

.

.

5.12. Плоскость …

… параллельна оси .

… перпендикулярна оси .

… проходит через ось .

… параллельна плоскости .

… параллельна плоскости .

5.13. Плоскость проходит через ось , если…

… .

… .

… .

… .

Эта плоскость не может проходить через ось .

5.14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно вектору .

.

.

.

.

.

5.15. При каких и прямая лежит в плоскости ?

.

.

.

.

.

5.16. Составьте уравнение плоскостей, делящих пополам двугранные углы, образованные плоскостями и .

и .

и .

и .

и .

и .

5.17. Найдите расстояние между плоскостями и .

5.18. Найдите объем пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью .

5.19. Найдите нормальный вектор плоскости, проходящей через начало координат и точки и .

.

.

.

.

.

5.20. Определите, как расположены точки и относительно плоскости .

По разные стороны от плоскости, причем точка по ту же сторону, что и начало координат.

По разные стороны от плоскости, причем точка по ту же сторону, что и начало координат.

По одну сторону от плоскости, как и начало координат.

По одну сторону, противоположную стороне, где лежит начало координат.

Одна из этих точек лежит на указанной плоскости.

5.21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно , если , .

.

.

.

.

.

5.22. Установить, при каком значении плоскость будет параллельна плоскости ?

Ни при каком.

При .

При .

При .

При .

5.23. Найдите расстояние от начала координат до плоскости .

5.24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат параллельно векторам и .

.

.

.

.

5.25. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки , параллельно вектору .

.

.

.

.

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: