Сделай Сам Свою Работу на 5

Пример выполнения типового расчета





Решение систем линейных уравнений

Решить четыре системы линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

A 1 ⁢ x = B 1 ; A 1 ⁢ ⁢ ⁢ x = B 2 ⁢   ; A 3 ⁢ ⁢ ⁢ x = B 3 ⁢ ⁢ ; A 4 ⁢ ⁢ ⁢ x = B 4 ⁢

A 1 = ( 2 1 2 -3 -2 0 0 5 2 -1 -4 -5 -6 -1 4 8 ) ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ B 1 = ( 14 -11 4 -25 ) ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ B 2 ⁢ = ( 6 -1 -4 -7 )

A 3 ⁢ = ( 3 -6 16 20 0 -1 3 3 -1 2 -5 -6 1 -1 3 5 ) ­ ­ ­ ­­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ B 3 ⁢ = ( -41 -7 13 -8 )

A 4 ⁢ = ( 1 -1 -3 -1 -1 3 7 7 1 3 5 11 1 -2 -5 -4 ) ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ B 4 = ( 1 3 9 -1 )

В двух первых системах матрицы коэффициентов одинаковы, поэтому расширенная матрица включает элементы матрицы A1 и два столбца В1 и В2 соответственно.
Задание: 1. Вычислить определители матриц A1, A3, A4.
­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­2. Исследовать и решить первую, третью и четвертую системы методом Гаусса, вторую систему по формулам Крамера.
­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­3. Если система совместная, сделать проверку полученных решений.

Вычисление определителей, исследование и решение систем линейных уравнений

Цель работы



1. Вычисление определителей четвертого порядка.
2. Исследование и решение систем четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными методом Гаусса и по формулам Крамера.

Теоретическое введение

4.2.1 Вычисление определителя произвольного порядка
При вычислении определителей используют следующие их свойства:
1. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.
2. Общий множитель всех элементов одной строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя.
3. Если некоторая строка (столбец) определителя целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.
4. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любой общий множитель.
5. Определитель равен сумме произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Применение этого свойства называют разложением определителя по строке (столбцу).
Можно предложить следующий порядок вычисления определителя:



  • с помощью свойства 4 добиться, чтобы в некоторой выбранном столбце (например, первом) стояли на всех местах нули, кроме, быть может, одного;
  • применяя свойство 5, разложить определитель по этому столбцу и тем самым свести его вычисление к нахождению определителя меньшего порядка;
  • повторяя этот прием в конце концов можно получить определитель второго порядка, который вычисляется непосредственно.

В процессе преобразования определителя по мере необходимости используют свойства 1 и 2, или выясняют, согласно свойству 3, что он равен нулю.

4.2.2 Исследование и решение систем линейных уравнений
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)


Рассмотрим A – матрицу коэффициентов этой системы и A1 – расширенную матрицу системы:
.
Если число уравнений m равно числу неизвестных n, то важную роль играет определитель матрицы A. Если |A| не равен нулю, то система имеет единственное решение (теорема Крамера), которое можно найти по формулам (формулы Крамера), где |Δi | – определитель, получающийся из определителя |A| заменой его i-го столбца столбцом свободных членов B с сохранением без изменения всех остальных столбцов |A|. Определитель |A| называют главным определителем системы, а определители |Δi| – вспомогательными определителями.
Если же |A| = 0, то система либо несовместна (не имеет решений), либо является неопределенной (имеет бесконечное множество решений).
Для исследования системы (4.1) в случае m = n и |A| = 0, а также в случае m ≠ n, т.е. когда число уравнений не равно числу неизвестных, необходимо найти ранги матриц A и B .
Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Минором K-го порядка данной матрицы называется определитель квадратной матрицы, получающейся из данной матрицы выделением произвольных K строк и K столбцов. Квадратная матрица порядка K образуется из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов.
Если ранг матрицы A равен r, то это означает, что в матрице A имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка большего r, равен нулю.
Ранг матрицы A может быть найден с помощью элементарных преобразований первого и второго родов.
Элементарными преобразованиями первого рода называются следующие действия:
1) умножение какой-либо строки на число λ ≠ 0;
2) перестановка двух строк;
3) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число λ.
Элементарными преобразованиями второго рода называются аналогичные действия со столбцами. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется.
С помощью элементарных преобразований первого рода любую матрицу можно привести к ступенчатому виду:



.
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. В качестве базисных миноров матриц C1 и C2 можно соответственно взять миноры:
.
и ранги приведенных в примере матриц равны 3 (очевидно, что, если матрица приведена к ступенчатому виду, то ее ранг равен числу ненулевых строк).
Произвольную систему (1) можно исследовать с помощью теоремы Кронекера-Капелли. Из этой теоремы следует:
• если ранг матрицы коэффициентов A не равен рангу расширенной матрицы A1, то система (1) несовместна (нет решений);
• если ранг матрицы A равен рангу матрицы A1, то система (1) совместна. При этом если ранг матрицы A равен числу неизвестных n, то система является определенной, т.е. имеет единственное решение; а если ранг матрицы A меньше числа неизвестных n, то система – неопределенная, т.е. имеет бесконечное множество решений.
Рассмотрим метод решения неопределенной системы. Пусть ранг матрицы A равен r (r < n). Выделим произвольный базисный минор матрицы A. Элементы строки этого минора являются коэффициентами при r неизвестных в одном из уравнений системы (1). Эти r неизвестных назовем базисными неизвестными, остальные n - r неизвестных назовем свободными неизвестными . Выделим из системы (1) систему r уравнения, среди коэффициентов которых содержатся элементы базисного минора. Базисные неизвестные в выделенной системе оставим в левых частях уравнений, а члены, содержащие свободные неизвестные, перенесем вправо. Из полученной системы уравнений выразим базисные неизвестные через свободные неизвестные. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, можно найти соответствующие значения базисных неизвестных.
Нахождение ранга матриц A и A1, и решение системы (1) удобно проводить одновременно. Заметим, что элементарные преобразования первого рода над расширенной матрицей A1 системы (1) приводят к новой системе уравнений, которая эквивалентна исходной. Элементарные преобразования второго рода над расширенной матрицей могут изменить как нумерацию неизвестных, так и их значения. Поэтому будем использовать лишь элементарные преобразования первого рода. Преобразовав расширенную матрицу к ступенчатому виду, определим ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы. Запишем систему, соответствующую преобразованной матрице. Если система является определенной, из преобразованной системы неизвестные определяются последовательно, без труда. Если система неопределенная, оставляем в левой части ее лишь базисные неизвестные, а члены, содержащие свободные неизвестные переносим вправо. Из полученной системы базисные неизвестные определяют через свободные.

Содержание типового расчета

Условие типового расчета содержит расширенные матрицы систем четырех уравнений с четырьмя неизвестными:
A1 · X = B1;­ ­ ­ ­ ­ A2 · X = B2;
A3 · X = B3;­ ­ ­ ­ ­ A4 · X = B4.
В двух первых системах матрицы коэффициентов одинаковы: A1 = A2, поэтому расширенная матрица включает элементы матрицы A1 и два столбца B1 и B2 соответственно. Вычислить определители матриц A1, A3, A4. Исследовать и решить первую, третью и четвертую системы методом Гаусса, вторую систему – по формулам Крамера. В ответе для каждой из систем записать ранг матрицы коэффициентов и присоединенной матриц.
Если система совместная, сделать проверку полученных решений.

Пример выполнения типового расчета

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.