Векторное произведение, его свойства, вычисление.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с=a x b. который определяется следующими тремя условиями:

1. |a x b|=|a|*|b|*sinφ

2. a|_c, b|_c вектор с ортогонален векторам a и b

3. вектор с направлен так, что векторы a,b,c образуют правую тройку.

(если кратчайший поворот вектора а к вектору b осуществляется против часовой стрелки – правая тройка.

i,j,k – правая тройка.

Геометрические свойства:

1. Если a||b ↔ a x b=0 (необходимое и достаточное условие коллинеарности)

sinφ=0

2. Если a и b приведены к общему началу, то

S=|a|*|b|*sinφ=|a x b| (площадь параллелограмма)

Sтр=1/2*Sпар=1/2*|a x b|

Алгебраические свойства:

1. а x b= -b x a (меняется направленность тройки)

2. Сочетательный закон по отношению к умножению на скаляр

(λa) x b= λ(a x b)

(a x λb)= λ(a x b)

3. Распределительный закон относительно умножения на сумму векторов

a x (b+c) = a x b + a x c

(b+c) x a= b x c + c x a

4. a x a =0

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в декартовой системе координат.

Теорема:

Пусть векторы а и b заданы своими декартовыми координатами:

a={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}

|i j k|

тогда a x b=|x1 y1 z1|={ |y1 z1|, - |x1 z1|, |x1 y1|}

|x2 y2 z2| |y2 z2| |x2 z2|, |x2 y2|

Док-во:

Составим таблицу векторного умножения базисных векторов.

i x i=0 j x i =-k k x i =j

i x j=k j x j =0 k x j =-i

i x k=-j j x k= i k x k=0

Воспользуемся представлением a и b в декартовой системе координат:

а=x1*i+y1*j+z1*k

b=x2*i+y2*j+z2*k

a x b= (x1*i+y1*j+z1*k)x(x2*i+y2*j+z2*k)=…=|y1 z1|i - |x1 z1|j + |x1 y1|k

|y2 z2| |x2 z2| |x2 y2|

Смешанное произведение трех векторов, его свойства, геометрический смысл, вычисление.

Определение:

(a x b)c – векторно-скалярное или смешанное произведение векторов.

1. Компланарность векторов a,b,c – принадлежность к одой плоскости или параллельным плоскостям. (можно снести на одну плоскость)

2. Упорядоченная тройка векторов, такая тройка векторов о которых известно, какой из них является первым, вторым и третьим.

3. Правая и левая тройка векторов.

x- вектор а

y- вектор b

z- вектор c

(a,b,c) (b,c,a) (c,a,b) правые

(b,a,c) (a,c,b) (c,b,a) левые

Теорема 1:

Смешанное произведение векторов (a x b)c равно объему параллелепипеда ( построенного на векторах a,b,c) взятому со знаком +, если тройка правая, и – если тройка левая.

Док-во:

Если a,b,c компланарны, то (a x b)c =0 (очевидно)

(a x b) |_c

Пусть a не коллинеарно b тогда a x b=Se (S- площадь параллелограмма)

(a,b , a x b,) – правая тройка

Se*c=S*|e|*пр_eс=S*пр_ec=S*H=V (если a,b,c – правая)

Если левая, то пр_ec=-H, (a x b)c=-V

Следствия:

1. (a x b)c=(b x c)a=a(b x c)=abc

2. Компланарность abc=0

Теорема 2:

Пусть a={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2} c={x1,y1,z1} – векторы заданные декартовыми координатами. Тогда

|x1 y1 z1|

abc=|x2 y2 z2|

|x3 y3 z3|

Док-во:

abc=(a x b)c ↔ a x b=| i j k|=(y1z2-z1y2)i-(x1z2-x2z1)j+(x1y2-x2y1)k

|x1 y1 z1|

|x2 y2 z2|

abc – скалярное произведение (a x b) и с ↔ (a x b)c=x3(y1z2-z1y2)-y3(x1z2-x2z1)+z3(x1y2-x2y1)=| x1 y1 z1 |

|x2 y2 z2|

|x3 y3 z3|

3.1. Прямая линия на плоскости. Различные уравнения прямой. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

Нормальный и направляющий вектор прямой

Нормальный вектор прямой – любой ненулевой вектор, ортогональный этой прямой. n |_ L

Направляющий вектор прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой.

Определение:

Уравнение данной линии ( в выбранной системе координат) называется уравнением вида F(x,y)=0. Линия – геометрическое место точек удовлетворяющее этому уравнению.

Линия определяется уравнением y=f(x) – график функции f(x).

Векторное уравнение прямой на плоскости.