СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

1.Скалярным произведением векторов и называется действительное число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается или . Итак,

.

Свойства скалярного произведения двух векторов.

1. (коммутативность);

2. (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);

3. ;

4. (линейность);

5. (линейность);

6. ;

7. ³ 0, и = 0 Û = (положительная определенность).

8. если , то ;

9. если , то либо хотя бы один из векторов и равен нулю, либо и ортогональны.

Так как направление нуль-вектора произвольно, то девятое свойство можно переформулировать как необходимое и достаточное условие ортогональности векторов: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Из определения скалярного произведения и свойств косинуса непосредственно вытекает неравенство Коши-Буняковского. Для любых векторов и имеем

.

При этом, если 0, то тогда и только тогда, когда , где .

3. Механический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если материальная точка под воздействием силы перемещается на вектор , то совершаемая этой силой работа равна скалярному произведению на :

.

4. Из свойств скалярного произведения вытекает, что линейные комбинации векторов можно перемножать как многочлены. Возьмем в пространстве векторов базис . Тогда для векторов и имеем

.

Свойства матрицы Грама.

1⁰. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

2⁰.Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

3⁰. Для матрицы Грама и любого n-мерногостолбца х выполняется условие х ^Т×Г×х > 0.

Равенства

и =

Позволяют по координатам векторов и метрическим коэффициентам базиса находить длины векторов и углы между ними.

Базис е = (е₁, е₂, ... , е_n ) (на прямой, на плоскости или в пространстве называется ортонормированным, если

Длины векторов ортонормированного базиса равны единице:

Матрица Грама для ортонормированного базиса имеет вид

.

Ортонормированный базис в пространстве V² обычно обозначается , в пространстве V³ - .

5. Пусть в ортонормированном базисе заданы векторы

, .

В ортонормированном базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат.

Вычисление длины вектора в ортонормированном базисе.

Вычисление угла между векторами в ортонормированном базисе

, откуда:

.

Вычисление координат орта вектора в ортонормированном базисе

Вычисление ортогональной проекции вектора на направление в ортонормированном базисе

.

Замечание.Если , то . Аналогично, . Таким образом, координаты вектора в ортонормированном базисе являются его ортогональными проекциями на направления, заданные соответствующими ортами.

Косинусы углов, которые отличный от нуля вектор образует с векторами ортонормированного базиса, называются направляющими косинусами.

.

Направляющие косинусы удовлетворяют соотношению

.

Из полученных выражений для направляющих косинусов видно, что они совпадают с координатами орта вектора.

.

Если A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁) , то

½½= .

Обозначим r(A, B) – расстояние между точками A и B. Тогда r(A, B) вычисляется по той же формуле. Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. r(A, B) = r(B, A);

2. r(A, B) + r(B, C) ³ r(A, C) (неравенство треугольника);

3. r(A, B) ³ 0, и r(A, B) = 0 Û A = B.

6. Если задан некоторый вектор , то ортогональной составляющей произвольного вектора вдоль вектора называется такой вектор , который коллинеарен , причем разность перпендикулярна вектору .

Аналогично,ортогональной составляющейвектора в плоскости называется вектор , компланарный плоскости , причем разность перпендикулярна этой плоскости.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: