Дополнительные характеристики графов

Граф

Граф, или неориентированный граф — это упорядоченная пара , для которой выполнены следующие условия:

· — это непустое множество вершин, или узлов,

· — это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

(а значит и, ) обычно считаются конечными множествами. Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе — порядком, число рёбер — размером графа.

Вершины и называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра . Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть .

Степенью вершины называют количество инцидентных ей рёбер(при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Ориентированный граф

Ориентированный граф (сокращённо орграф) — это упорядоченная пара , для которой выполнены следующие условия:

· — это непустое множество вершин или узлов,

· — это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Дуга — это упорядоченная пара вершин , где вершину называют началом, а — концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины к вершине .

Смешанный граф

Смешанный граф — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой , где , и определены так же, как выше.

Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин , для которой все пары являются (ориентированными) рёбрами.

Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер. Заметим, что если вершины и являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:

• Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.
• Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл.
• Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).
• Петля — элементарный цикл.

Ребро графа называется мостом, если его удаление увеличивает число компонент.

Дополнительные характеристики графов

Граф называется:

• связным, если для любых вершин , есть путь из в .
• сильно связным или ориентированно связным, если он ориентированный, и из любой вершины в любую другую имеется ориентированный путь.
• деревом, если он связный и не содержит простых циклов.
• полным, если любые его две (различные, если не допускаются петли) вершины соединены ребром.
• двудольным, если его вершины можно разбить на два непересекающихся подмножества и так, что всякое ребро соединяет вершину из с вершиной из .
• k-дольным, если его вершины можно разбить на непересекающихся подмножества , , …, так, что не будет рёбер, соединяющих вершины одного и того же подмножества.
• полным двудольным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества.
• планарным, если граф можно изобразить диаграммой на плоскости без пересечений рёбер.
• взвешенным, если каждому ребру графа поставлено в соответствие некоторое число, называемое весом ребра.

· Расстояниеммежду двумя вершинами называется минималь­ная длина из всех возможных маршрутов между этими вершина­ми при условии, что существует хотя бы один такой маршрут. Расстояние обозначается символами d( A;B)= min|A;B|=k, где вершины A и B начало и конец маршрута, k – число, равное наименьшей длине маршрута.

Поскольку рассматриваются конечные графы, минимум мож­но найти всегда. Формально можно ввести расстояние d(VV) = О, между любой вершиной и ей же самой, что соответствует нулевому маршруту, у которого начало и конец в одной вершине.

В маршруте одно и то же ребро может встретиться несколько раз.

Если ребро встретилось только один раз, то маршрут называ­ется цепью.Запись вида 3-цепь означает, что между двумя точками имеется цепь – маршрут, длина которого равна 3.

Операции над графами

Над графами, как и над любыми множествами можно выполнять операции объединения и пересечения.

Объединением графов G₁ = (A;B) и G₂ = (C;D) называется граф G= G₁ U G₂, множество вершин которого К= AUC, а мно­жество ребер X=(BUD)

Пересечением графов G₁ = (A;B) и G₂ = (C;D) называется граф G= G₁∩G₂, множество вершин которого К= A∩C, а мно­жество ребер X=(B∩D).

Подграфом данного графа называется граф все вершины и ребра которого являются подмно­жествами множества вершин и ребер этого графа.

Обозначения подграфа, его вершин и ребер можно так, как это принято для обозначения подмножеств или ввести другие буквы. А именно, если граф A=(N;M) есть подграф графа G=(V, X), то A ÌG, причем NÌV и MÌX

Кольцевой суммой G₁ = (A;B) и G₂ = (C;D) называется граф G= G₁ U G₂, множество вершин которого К= AUC, а мно­жество ребер X=(BUD)\ (B∩D).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: