Изучение статистических закономерностей распределения параметров

В природе, в технике часто встречаются случайные явления. Предсказать отдельные случайные явления нельзя, так как на них сказывается влияние очень большого числа не поддающихся контролю факторов. Например, при стрельбе в цель, в движении молекул и т.п. Типичной случайной величиной является результат измерения значения физической величины. Однако совокупность случайных явлений или величин подчиняется так называемым статистическим законам, которые изучаются одним из разделов математики – теорией вероятностей. Статистические законы дают возможность определять вероятность, с которой осуществляется то или иное событие в серии случайных и однотипных событий, и в частности, по результатам ряда измерений определить действительное значение измеряемой величины с заданной точностью. Все эти характеристики определяются законом распределения случайных величин – зависимостью вероятности появления данной величины от значения самой величины.

Наиболее распространённым в природе законом распределения случайных величин является так называемый закон нормального распределения (закон Гаусса). Это распределение имеет место в том случае, если случайная величина зависит от большого числа факторов, которые могут вносить с равной вероятностью положительные и отрицательные отклонения, и при этом ни один из факторов не является «главным», решающим. Примером такого распределения может служить распределение случайных ошибок при измерении некоторой физической величины, если ошибку каждого измерения можно условно разбить на более мелкие элементарные ошибки, вызванные различными причинами, которые имеют примерно одинаковую величину и равновероятные знаки. Если же одна из причин ошибки является превалирующей, то действуют другие законы распределения. Например, если определяющей причиной погрешности является сила сухого трения в измерительном механизме, то имеет место равномерный закон распределения в некотором интервале значений; преобладающее влияние наводки синусоидальной помехи приводит к арксинусоидальному закону.

Следует помнить, что распределение Гаусса принципиально не может абсолютно точно описывать результаты реальных измерений по следующим причинам:

А) Распределение Гаусса вводится для непрерывной случайной величины – некие два её значения могут отличаться на сколь угодно малую величину – а результат любого реального измерения – всегда величина дискретная.

Б) Случайные величины по распределению Гаусса, в отличие от показаний реальных приборов, могут принимать значения от плюс бесконечности до минус бесконечности.

В) Распределение Гаусса предполагает бесконечно большое число измерений.

Тем не менее, использование нормального распределения в большинстве случаев вполне оправдано.

При большом числе измерений кривая будет иметь вид, близкий к изображенному на рисунке 1. Вид кривой существенно зависит от качества измерений. Если случайные ошибки относительно велики («плохие» измерения), кривая ведет себя как сплошная, а при малых случайных ошибках («хорошие» измерения) – как штриховая линия. Сплошная и штриховая кривые имеют под собой одинаковые площади, что соответствует условию нормировки. Кривые, изображенные на рисунке 2, носят название кривыхГаусса. Кривые описываются следующей функцией:

(1)

где s² – дисперсия измерений (см. ниже), х – отклонение измеряемой величины от её действительного значения.

Плотность нормального распределения:

а) симметрична относительно нулевого значения;

б) достигает максимального значения при нулевом отклонении от действительного значения;

в) быстро стремится к нулю, когда x становится большим по сравнению с σ.

Множитель:

(2)

взят для того, чтобы функция f(x) удовлетворяла условию нормировки:

(3)

Это действительно так, поскольку:

(4)

Выясним смысл величины σ. Для этого введём среднеквадратичное отклонение:

(5)

можно показать, что:

(6)

Таким образом, дисперсия имеет смысл среднеквадратичного (или стандартного) отклонения. Причем 68% всех результатов измерений, показанных на рис.1, отличаются от действительного не более, чем на ±σ. В пределах от -2σ до +2σ находится 95% результатов измерений, а в пределах от –3σ до +3σ – 99.7%.

Сказанное выше можно сформулировать иными словами, а именно: говорят, что действительное значение измеряемой величины с вероятностью 68% лежит в пределах ±σ от среднего по результатам измерений, с вероятностью 95% - в пределах +2σ и с вероятностью 99.7% - в пределах +3σ.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: