Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера)

Йозеф Фраунгофер (1787 – 1826), немецкий физик.

До сих пор мы рассматривали дифракцию сферических или плоских волн, изучая дифракционную картину в точке наблюдения, лежащей на конечном расстоянии от препятствия (дифракция Френеля).

Тип дифракции, при котором дифракционная картина образуется параллельными пучками, называется дифракцией Фраунгофера. Параллельные лучи будут, если источник и экран находятся друг от друга в бесконечности. Практически дифракцию Фраунгофера можно осуществить, если точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием.

Хотя принципиально дифракция Фраунгофера не отличается от дифракции Френеля, но практически этот случай важен, т.к. именно этот тип дифракции используется во многих дифракционных приборах (например, дифракционная решётка).

Есть критерий, позволяющий судить, с каким видом дифракции, мы имеем дело. Для этого воспользуемся формулой для нахождения радиуса зоны Френеля при нормальном падении плоской световой волны на круглое отверстие радиусом r_m.

Как и раньше m означает число зон Френеля, которые укладываются в данном отверстии для точки наблюдения , отстоящей от отверстия на расстояние b.

Характер дифракционной картины определяется только числом m открытых зон Френеля. Следовательно, выражение для m можно взять в качестве параметра p, заменив r_m на некоторый характерный размер h отверстия в преграде и заменив b на l.

Такой безразмерный параметр определяется следующим выражением.

В этом выражении – некоторый характерный размер: радиус или диаметр (это не существенно) круглого отверстия, или, например, ширины щели и т.п.

Значение этого безразмерного параметра и определяет характер дифракции.

p << 1 – дифракция Фраунгофера.

p ~ 1 – дифракция Френеля.

p >> 1 – приближение геометрической оптики.

Дифракция от щели

Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на непрозрачное препятствие с узкой щелью АВ шириной а и длиной (бесконечно длинная щель). Дифракционная картина наблюдается на экране, который находится в фокальной плоскости собирающей линзы. Линза установлена за препятствием. Плоскость щели и экран параллельны друг другу.

Как и в случае дифракции Френеля, задачей анализа системы, изображенной на рисунке, является исследование распределения интенсивности света на экране. Проведем этот анализ на качественном уровне, воспользовавшись принципом Гюйгенса – Френеля. Это приближенный метод анализа, однако, он позволяет сделать верные выводы о распределении интенсивности свечения по экрану и определить некоторые характерные параметры дифракционной картины. В соответствии с принципом Гюйгенса – Френеля каждая точка щели является источником вторичных волн, колеблющихся в одинаковой фазе, поскольку плоскость щели совпадает с фронтом падающей плоской волны.

Параллельные пучки лучей, выходящие из щели в произвольном направлении (угол дифракции), собираются линзой в точке . Открытую часть волновой поверхности АВ в плоскости щели разобьем на зоны Френеля, которые будут иметь вид полос, параллельных боковому ребру щели. Зоны проведены таким образом, чтобы разность хода от их соответствующих точек была равна . Определим число зон , умещающихся на щели. Ширина одной зоны определяется как . Отсюда . Вторичные волны имеют одинаковые фазы и одинаковые амплитуды в плоскости щели (зоны Френеля примерно одинаковы по площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения). Следовательно, колебания, возбуждаемые в точке двумя соседними зонами, равны по амплитуде и противоположны по фазе. Поэтому легко записать условия для минимумов и максимумов дифракционной картины на экране (для точки ):

Дифракционный минимум наблюдается тогда, когда число зон Френеля в плоскости щели четное, т.е.

,

Дифракционный максимум наблюдается тогда, когда число зон Френеля в плоскости щели нечетное, имеется одна некомпенсированная зона Френеля, т.е.

,

В направлении наблюдается центральный дифракционный максимум, поскольку колебания, вызываемые в центральной части экрана всеми участками щели, происходят в одинаковой фазе.

Дифракционный спектр(зависимость распределения интенсивности на экране от угла дифракции) приведен на рисунке как . Видно, что основная часть световой энергии сосредоточена в центральном максимуме. С увеличением угла дифракции интенсивность побочных максимумов резко уменьшается.

Интенсивность и ширина составляющих дифракционного спектра зависит от размера щели. С уменьшением ширины щели центральный максимум расширяется. Это следует, в частности, из приведенных выше условий для дифракционных минимумов и максимумов. Действительно, центральный максимум ограничен справа и слева минимумами первого порядка, которые соответствуют углам

, , тогда

. Чем меньше , тем больше , следовательно, шире центральный максимум.

С увеличением ширины щели ( ) дифракционные полосы становятся уже и ярче, а число полос больше. При в центре получается резкое изображение источника света (прямолинейное распространение света). При уменьшении ширины щели вся дифракционная картина расширяется, расплывается. Центральный максимум так же расширяется, захватывая всё большую часть экрана, но его интенсивность уменьшается.

Мы знаем, что интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды

I ~ A². Центральный максимум по интенсивности превосходит все остальные. Интенсивности максимумов соотносятся между собой следующим образом.

Дифракционная решетка

В случае дифракции Фраунгофера на одной щели распределение интенсивности на экране определялось направлением лучей, дающих дифракционную картину. Поэтому перемещение щели параллельно самой себе не изменит дифракционной картины. Следовательно, если рассмотреть две расположенные рядом одинаковые по размерам щели, то результирующая картина определится как результат интерференции волн, идущих от обеих щелей. Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние щелей. На практике обычно роль щелей выполняют прозрачные участки стеклянных пластинок, разделенные непрозрачными штрихами, наносимыми с помощью алмазных резцов. Современные технологии позволяют изготавливать решетки, имеющие свыше 1000 штрихов на длине в 1 мм. Расстояние между серединами соседних щелей называется периодом решетки.

Допустим, что на дифракционную решетку с щелями нормально к ней падает плоская монохроматическая волна. За решеткой расположена линза, в фокальной плоскости которой находится экран. Чтобы получить представление о дифракционной картине на экране, нужно учитывать, что при прохождении через решетку имеют место два различных вида интерференции световых лучей:

а). Интерференция лучей, дифрагировавших на каждой щели в отдельности;

б). Интерференция лучей, дифрагировавших от разных щелей.

Рассмотрим для простоты дифракцию Фраунгофера на двух щелях, затем обобщим полученные результаты на случай множества подобных щелей. Пусть щели имеют ширину и отстоят друг от друга на расстояние (ширина непрозрачного участка). Тогда . Поскольку параллельное перемещение щели при наличии линзы не изменит дифракционной картины, то минимумы, соответствующие дифракции на одной щели, останутся минимумами и при дифракции на двух и более щелях. Это обусловлено тем, что если в каком-то направлении каждая щель не посылает света, то в этом направлении не будет света и от всей совокупности щелей. Следовательно, так называемые главные минимумы интенсивности наблюдаются в направлениях, определяемых записанным ранее условием для одной щели:

,

Таким образом, условия главных минимумов.

Вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых разными щелями (условие б), в некоторых направлениях они будут гасить друг друга. Возникнут дополнительные минимумы. Определим условия образования дополнительных минимумов. Очевидно, что это будут направления, которым соответствует разность хода лучей , , и т.д., посылаемых от соответствующих точек обеих щелей. Например, из точек на рисунке. Такие направления определяются условием

Таким образом, условие дополнительных минимумов будет выглядеть так:

,

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Их число в промежутке между соседними главными максимумами равно N – 2, а их интенсивность не превышает 1/22 интенсивности ближайшего главного максимума.

Соответственно, направления, задающие главные максимумы, определяются условиями:

,

В этих направлениях действие одной щели усиливает действие другой.

Таким образом, для двух щелей дифракционная картина определяется условиями:

главные минимумы:

дополнительные минимумы:

главные максимумы: 0,

т.е. между двумя главными максимумами располагается дополнительный минимум, а максимумы становятся более узкими и яркими, чем в случае одной щели. Дифракционный спектр решётки с N = 2 приведён ниже.

Относительная интенсивность центрального максимума равна 1. При освещении белым светом, центральный максимум – белый, а все остальные максимумы будут окрашенными. На рисунке пунктирной линией, огибающей все максимумы, показан центральный максимум от одной щели.

Проводя аналогичные рассуждения, легко показать, что для системы из щелей число дополнительных минимумов, которые наблюдаются между соседними главными максимумами, составит . Для примера приведём дифракционный спектр решётки с N = 4.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: