Сделай Сам Свою Работу на 5

ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ





ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Для формулировки принципа Гаусса следует предварительно дать необходимые определения и понятия из теоретической механики.

Рассмотрим систему материальных точек Pv, v = 1, 2, ..., N, с массами mv, радиусы-векторы и пря­моугольные декартовы координаты которых в непо­движной системе координат обозначим через rv и xv, yv, zv, через vv и wv обозначим скорость и ускорение точки Pv. Очень часто при движении системы поло­жения и скорости ее точек не могут быть произволь­ными. Ограничения, налагаемые на rv и vv, , которые должны выполняться при любых действующих на систему силах, называются связями. Если на систе­му не наложены связи, то она называется свободной. Системы со связями называют несвободными.

В общем случае связь задается соотношением f(ru ..., rn, Vj, ..., vn, t) > 0. Если в нем реализуется только знак равенства, то связь называется удер­живающей. Например, при движении точки P по сфере постоянного или переменного радиуса R с центром в начале координат имеем удерживающую связь x2 + y2 + z2 - R2 = 0.

Если же в соотношении f > 0 реализуются как знак равенства, так и знак строгого неравенства, то связь называется неудерживающей. Пусть, напри­мер, две точки Р1 и Р2 связаны нерастяжимой нитью длины l. Здесь имеем неудерживающую связь, за­даваемую соотношением l2 – (xJ – x2)2 – (yx – y2)2 – (z1 – z2)2 ≥ 0, которое означает, что точки не могут находиться одна от другой на расстоянии, большем l.



Если соотношение, задающее связь, не содер­жит проекции скоростей точек системы, то эта связь называется геометрической (или голономной), в противном случае связь называется дифференци­альной. Иногда дифференциальную связь можно представить в виде зависимости между координата­ми точек системы и временем (как в случае геомет­рической связи). Тогда ее называют интегрируемой. Неинтегрируемую дифференциальную связь назы­вают еще неголономной.

Точки несвободной системы не могут двигаться в пространстве совершенно произвольно. Их кине­матически возможные (то есть допускаемые связями) координаты, скорости, ускорения и перемещения должны удовлетворять некоторым соотношениям, вытекающим из уравнений связей.



Помимо перемещений, соответствующих дей­ствительному (истинному, реальному) движению, в механике важны еще так называемые виртуальные (воображаемые) перемещения. Виртуальным пере­мещением точки Р, называют такое ее малое переме­щение rv = ( xv, yv, zv), мысленно осуществляе­мое из данного положения при фиксированном времени t, которое с точностью до членов первого порядка малости включительно относительно xv, yv, zv не нарушает связей.

Поясним это на примере. Рассмотрим систему, состоящую из одной материальной точки, которая должна оставаться на поверхности f(x, y, z, t) = 0. Пусть в момент времени t точка занимает положе­ние P0 с координатами x0, y0, z0. Мысленно дадим точке бесконечно малое перемещение r = ( x, y, z). Тогда ее координаты примут значения x0 + x, y0 + y, z0 + z. Но не всякое r не нарушает связи. Если смещенная точка остается на поверхности, то x, y, z должны удовлетворять уравнению f(x0 + x, y0 + y, z0 + z, t) = 0. Разлагая его левую часть в ряд Тейлора, получаем соотношение

где частные производные вычисляются в точке P0, а многоточие обозначает члены выше первого поряд­ка малости относительно x, y, z. Если этими чле­нами пренебречь и учесть, что f(x0, y0, z0, t) = 0, то придем к уравнению

определяющему виртуальные перемещения. Урав­нение (1), в частности, показывает, что в отличие от действительного перемещения, которое единствен­но, число виртуальных перемещений бесконечно: мы имеем одно линейное уравнение (1) относитель­но трех неизвестных x, y, z. Любой бесконечно малый вектор, имеющий начало в точке P0 и лежа­щий в плоскости, касательной к поверхности f = 0, будет задавать виртуальное перемещение.



Бесконечно малые приращения xv, yv, zv, на­зываются еще вариациями величин xv, yv, zv. Пере­ход при фиксированном времени t из положения системы, определяемого радиусами-векторами rv, в бесконечно близкое положение, определяемое ра­диусами-векторами rv + rv, называют синхронным варьированием.

Если система свободная, то ускорения av ее то­чек определяются из второго закона Ньютона: mv av = Fv, где Fv — равнодействующая сил, приложенных к точке Pv. Если же система несвободная, то на ус­корения ее точек наложены вполне определенные ограничения. Величины av не будут, вообще говоря, удовлетворять этим ограничениям, то есть ускорения wv точек Pv несвободной системы будут отличаться от их ускорений av в случае свободной системы, у точки Pv появляется дополнительное ускорение wv - av. Это ускорение возникает за счет неизвестных сил, обус­ловленных наличием связей. Их называют реакция­ми связей. Силы Fv называют активными силами. Они являются известными функциями координат и скоростей точек системы, а также, возможно, и вре­мени t.

Обозначив через Rv равнодействующую реакций связей, приложенных к точке Pv, согласно второму закону Ньютона получим mv (wv - a) = Rv. Отсюда и из равенств mv av = Fv следуют уравнения движения точек системы

mvwv = R + Fv, v = 1, 2, …, N.

Связи называются идеальными, если работа реакций этих связей на любых виртуальных перемещениях равна нулю, то есть

 

Примерами систем с идеальными связями могут служить следующие системы: материальная точка на абсолютно гладкой поверхности; свободное твердое тело; тело, вращающееся вокруг неподвиж­ной оси; два тела, соединенные точечным шарни­ром; два соприкасающихся тела при отсутствии проскальзывания; две точки, соединенные невесо­мой нерастяжимой нитью, не оказывающей сопро­тивления изменению ее формы (идеальная нить). Многие материальные объекты в природе и технике с приемлемой для практики точностью можно мо­делировать системой с идеальными связями. Далее рассматриваются только такие системы.

 

ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ПРИНУЖДЕНИЯ

Принцип наименьшего принуждения дает при­знак, отличающий действительное движение от класса других движений, кинематически возмож­ных при тех же условиях.

Гаусс дал следующую словесную формулировку своего принципа: “Движение системы материаль­ных точек, связанных между собой произвольным об­разом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свобод­ными, то есть происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, примененного в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений масс каждой точки на квадрат величины ее отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной”.

Пусть Pv — положение v-й точки в момент време­ни t (рис. 1), а Bv — положение, которое заняла бы эта точка через промежуток времени dt, если бы в момент t система была освобождена от связей. При­веденный принцип утверждает, что положения A, которые займут точки системы в момент t + dt в дей­ствительном движении, выделяются между всеми положениями, допускаемыми связями, тем, что для них величина G, определяемая по формуле

где sv — длина вектора BVAV, имеет минимальное значение.

Таким образом, мерой принуждения Гаусс назы­вает величину (4), характеризующую отклонение системы, движущейся под действием активных сил при наложенных на нее связях, от свободного дви­жения, которое она имела бы начиная с рассматри­ваемого момента, двигаясь под действием тех же ак­тивных сил, с теми же начальными скоростями в момент времени t, если бы с этого момента были ус­транены наложенные на систему связи.

Равновесие является частным случаем движения и также описывается принципом Гаусса. Пусть сис­тема занимает некоторое допускаемое связями по­ложение и все ее точки имеют нулевые скорости. Тогда если каждое движение дает большее значение величине (4), то рассматриваемое положение будет положением равновесия. В этом случае состояние покоя является более близким к свободному движе­нию, нежели любое кинематически возможное дви­жение.

Весьма интересно, что идея отклонения систе­мы от свободного движения в форме (4) суммы ве­личин, пропорциональных квадратам отклонений точек системы, заимствована Гауссом в им же по­строенной теории ошибок. Принцип наименьшего принуждения является механическим аналогом ме­тода наименьших квадратов, лежащего в основе всех статистических исследований. Величина (4), будучи поделенной на массу всей системы, выразит квадрат среднего взвешенного из квадратов откло­нений отдельных точек системы, причем множите­ли mv соответствуют “весовому” множителю в мето­де наименьших квадратов. Выявляя замечательную внутреннюю связь идеи принципа наименьшего принуждения с методом наименьших квадратов, Гаусс замечает, что “свободное движение, если оно при наличии имеющихся условий не может иметь места, модифицируется природой в точности таким образом, каким вычисляющий математик, пользу­ясь методом наименьших квадратов, выравнивает результаты эксперимента, относящиеся к величи­нам, связанным некоторой зависимостью”.

Следующий пример иллюстрирует принцип Гаусса

Пример 1. Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой прямой, накло­ненной к горизонтальной плоскости под углом а (рис. 2). Найдем ускорение точки.

Пусть в начальный момент точка занимает поло­жение P и имеет скорость, равную нулю. При сво­бодном движении точка двигалась бы по вертикали и за время dt прошла бы расстояние PB = 1/2 g(dt)2. В действительном несвободном движении по пря­мой PC точка движется с неизвестным ускорением w и за время dt проходит расстояние PA = 1/2 w(dt)2.

Действительное движение наименее отклонится от свободного движения, если точка A будет основа­нием перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую PC. Следовательно, PA = PB sin а. Отсюда с учетом выражений для PA и PB находим искомое ус­корение: w = gsin а.

 
 

Для применения принципа Гаусса к решению конкретных задач механики и физики целесообраз­но получить его аналитическое выражение в декар­товых координатах. Пусть в момент времени t точка Pv несвободной системы имеет скорость vv, а Fv — равнодействующая всех активных сил, приложен­ных к точке Pv. Тогда (см. рис. 1) с точностью до чле­нов второго порядка малости относительно dt имеем

Отклонение sv = BVAV точки Pv при несвобод­ном движении от ее положения при свободном дви­жении вызвано действием связей, принуждающих точки системы отклоняться от движения, свойст­венного точкам свободной системы. Для квадрата длины вектора sv получаем выражение

и функция (4), следовательно, может быть записана в виде G = 1/2(dt)4Z, где

Функция Z называется принуждением (по-не­мецки Zwang). От меры принуждения (4) она отли­чается несущественным для существования экстре­мума множителем 1/2(dt)4.

Отбрасывая этот множитель, получаем следую­щую формулировку принципа Гаусса: в каждый мо­мент времени истинное движение системы, находя­щейся под действием активных сил и подверженной идеальным удерживающим связям, отличается от всех кинематически возможных движений, соверша­ющихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения принуждение Z является мини­мальным.

Математически это выражается равенством δZ = 0, причем вариация берется при неизменяе­мых координатах и скоростях точек системы, то есть варьируются только ускорения.

В координатной форме принуждение записыва­ется в виде

Рассмотрим несложный пример применения принципа наименьшего принуждения к решению задач механики.

Пример 2. Три груза массы m каждый соедине­ны невесомой нерастяжимой нитью, переброшен­ной через неподвижный блок (рис. 3, а). Два груза лежат на горизонтальной плоскости, а третий груз подвешен вертикально. Пренебрегая трением, най­дем ускорения грузов.

 
 

Так как нить нерастяжима, то грузы движутся с одинаковыми по модулю ускорениями. Имеем

w1 = w2 = wj, w3 = wi; F1 = F2 = F3 = mgi. Для принуж­дения (7) получаем

Функция Z является квадратным трехчленом отно­сительно w. Из условия его минимума получаем w =

= 1/3 g.

Следующий пример иллюстрирует примени­мость принципа Гаусса к случаям равновесия.

Пример 3. К концам невесомого горизонталь­ного рычага с плечами l1 и l2 подвешены грузы P1 и P2 весами m1 g и m2g соответственно (рис. 3, б). Вна­чале система удерживалась в покое. Когда ее отпус­кают, грузы могут прийти в движение. В самом нача­ле движения ускорения грузов будут вертикальны. Пусть ускорение w1 груза P1 равно w и направлено вниз. Тогда, очевидно, ускорение w2 груза P2 направ­лено вверх и равно w(l2/11). Для принуждения Z имеем выражение

Из условия минимума функции Z находим

Если веса грузов обратно пропорциональны плечам рычага, то есть m1 /m2 = l2/11, то w = 0 и рычаг находится в равновесии. В этом случае, следова­тельно, покой дает наименьшее отклонение от сво­бодного движения.

Теперь используем принцип Гаусса для решения несколько более сложных задач.

Пример 4. Дана система из двух блоков, непо­движного A и подвижного B и трех грузов P1, P2, P3, подвешенных при помощи невесомых нерастяжи­мых нитей, как показано на рис. 3, в. Массы грузов соответственно равны m1, m2, m3, блоки невесомы, трения нет. При t = 0 скорости грузов равны нулю. При каком соотношении масс грузов груз P1 при t > 0 будет опускаться?

Пусть x1, x2, x3 — координаты грузов P1, P2, P3, а xB — координата центра блока B. Тогда

а условия нерастяжимости нитей запишутся в виде равенств

x1 + xB = const, x2 + x3 - 2xB = const.

Отсюда получаем, что

Выразив 3 получим, что функция Z будет функцией от двух переменных 1 и 2:

Из условий экстремума имеем два уравнения для нахождения ускорений 1 и 2:

или

(m1+4m3) +2m3 = (m1 – 2m3)g

2m3 + (m2 + m3) = (m2 ­­– m3)g

Из этих уравнений находим

Груз P1 будет опускаться, если 1 > 0. Поэтому искомое соотношение масс грузов записывается в виде неравенства

Пример 5. Призма А массы m скользит по боковой грани призмы B массы М, образуя угол α с горизонтом (рис. 3, г). Определить ускорение wпр призмы B и горизонтальную wx и вертикальную wy составляющие ускорения призмы А. Трением пренебречь.

Так как призма А не отрывается от призмы B, то (см. рис. 3, г)

wx = –wпр + wотн , wy = –wотн . (8)

Для принуждения имеем выражение

Но из (8) следует, что

wy = –(wx + wпр)tgα. (10)

Поэтому

Условие экстремума

дают уравнения

Из системы уравнений (10) – (12) получаем искомые величины:

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.