Введение системы аффинных и прямоугольных координат на плоскости и в пространстве

Систему координат будем вводить параллельно на плоскости и в пространстве.

На плоскости Определение 15. Аффинным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного базиса, т.е. R = . Точка О называется началом координат, векторы и - координатными векторами. Точка О вместе с каждым координатным вектором определяет ось. Эти оси называются координатными осями и обозначаются (Ох) и (Оу) (рис. 20). Рис. 20 Координатные оси разбивают плоскость на четыре угла. Их называют координатными углами. Координатные углы нумеруются в направлении кратчайшего поворота оси (Ох) к оси (Оу).     Говорят, что репер R = задаёт на плоскости систему аффинных координат.   Пусть М – произвольная точка плоскости. Вектор (рис. 21) называется радиусом- -вектором точки М (его часто обозначают одной буквой ). Рис. 21 Между множеством всех точек плоскости и множеством всех компланарных векторов, которые можно отложить в этой плоскости, устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, радиус-вектор точки вполне определяет эту точку и называется её векторной координатой. Обозначение М( . В базисе , входящем в данный репер, вектор задаётся упорядоченной парой своих координат. Между множеством всех компланарных векторов и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел тоже устанавливается взаимно однозначное соответствие. Итак, М « « {x, y}. Отсюда следует, что между множеством всех точек плоскости и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, любая точка плоскости вполне определяется упорядоченной парой действительных чисел. Определение 16. Аффинными координатами точки в репере R = называются координаты её радиуса-вектора в базисе, входящем в этот репер. М(х, у)R Û . Замечание. Если зафиксирован только один репер, то координаты точки можно обозначать М(х, у).

В пространстве Определение 151. Аффинным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного базиса, т.е. R = . Точка О называется началом координат, векторы , и - координатными векторами. Точка О вместе с каждым координатным вектором определяет ось. Эти оси называются координатными осями и обозначаются (Ох), (Оу) и (Оz) (рис. 201). Рис. 201 Каждая пара координатных осей определяет плоскость. Их называют координатными плоскостями и обозначают (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ). Координатные плоскости разбивают пространство на 8 трёхгранных углов. Их называют координатными углами. Говорят, что репер R = задаёт в пространстве систему аффинных координат.   Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор (рис.211) называется радиусом-вектором точки М (его часто обозначают одной буквой ). Рис.211 Между множеством всех точек плоскости и множеством всех геометрических векторов устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, радиус-вектор точки вполне определяет эту точку и называется её векторной координатой. Обозначение М( .   В базисе , входящем в данный репер, вектор задаётся упорядоченной тройкой своих координат. Между множеством всех геометрических векторов и множеством всех упорядоченных троек действительных чисел тоже устанавливается взаимно однозначное соответствие. Итак, М « « {x, y, z}. Отсюда следует, что между множеством всех точек пространства и множеством всех упорядоченных троек действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, любая точка пространства вполне определяется упорядоченной тройкой действительных чисел.     Определение 161. Аффинными координатами точки в репере R = называются координаты её радиуса-вектора в базисе, входящем в этот репер. М(х, у, z)R Û . Замечание. Если зафиксирован только один репер, то координаты точки можно обозначать М(х, у, z).

Итак, введение аффинных координат позволяет каждую точку плоскости (пространства) характеризовать парой (тройкой) действительных чисел, т.е. перейти с геометрического языка на язык алгебры. Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат.

Определение 17. Ортонормированным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного ортонормированного базиса, т.е. на плоскости ( и в пространстве). Аффинная система координат (АСК), которая задаётся ортонормированным репером, называется прямоугольной декартовой системой координат (ПДСК).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: