Умножение вектора на действительное число

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

(для направления «Прикладная математика и информатика)

I. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Геометрические векторы

Определение 1. Геометрический отрезок называется ориентированным, если указан порядок его концов.

Определение 2. Геометрическим вектором (вектором) называется ориентированный отрезок. При этом начало и конец ориентированного отрезка называются соответственно началом и концом вектора. Длина ориентированного отрезка называется длиной вектора.

Вектор обозначается , где А – начало, а В – конец вектора. Если начало и конец вектора нас не интересуют, то вектор обозначают . Длина вектора обозначается или . Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называют нулевым и обозначают . Если начало и конец вектора – различные точки (А ¹ В), то существует и только один луч с началом А, проходящий через точку В. Этот луч задаёт в пространстве направление, которое называется направлением данного вектора. Нулевой вектор не имеет направления.

Определение 3. Два вектора называются равными, если они либо оба нулевые, либо имеют одинаковые длину и направление.

Равенство векторов обладает следующими очевидными свойствами: 1) рефлексивность (всякий вектор равен сам себе); 2) симметричность ( если , то ); 3) транзитивность (если и , то ).

Множество всех равных векторов можно задать 1) одним из векторов (ориентированным отрезком); 2) упорядоченной парой точек; 3) длиной и направлением (в случае ненулевого вектора).

Пусть даны вектор и точка А. Если , то существует и только один вектор с началом в точке А, равный данному вектору. Это вектор (т.е. В = А). Если , то существует и только один луч, сонаправленный с вектором . На этом луче существует и только одна точка В, расстояние от которой до точки А равно . Но тогда

Рис. 1

А равно . Но тогда (рис. 1). Будем говорить, что вектор отложен от точки А. Итак, любой вектор можно отложить от любой точки и только единственным образом.

Замечание. Часто бывает удобно все равные векторы считать за один вектор. В этом случае можно определить равенство ориентированных отрезков. Это равенство будет отношением эквивалентности на множестве всех ориентированных отрезков. Следовательно, множество ориентированных отрезков будет разбиваться на классы эквивалентности. Определение 2 можно дать в следующем виде.

Определение 2¹. Геометрическим вектором называется класс ориентированных отрезков. При этом каждый отрезок из класса называется изображением вектора (слово «изображение» часто опускают).

Сложение векторов

Пусть и - любые два вектора. Чтобы к вектору прибавить вектор нужно отложить вектор от любой точки А ( ), от конца В полученного вектора отложить вектор ( ). Тогда вектор будет вектором суммы, т.е. . Иными словами, . Свойства сложения векторов.

Рис. 2

1⁰. Для любых двух векторов их сумма определена и однозначна. (Следует из определения).

2⁰. = для любого вектора . (Докажите).

3⁰. Для любого вектора существует противоположный вектор (- ) такой, что + (- ) = . (Докажите).

4⁰. для любых векторов и .

Доказательство. В случае, когда хотя бы один из векторов нулевой, утверждение следует из предыдущего свойства. Остаётся рассмотреть ненулевые векторы. При этом возможны следующие случаи.

а) Векторы и не параллельны. Пусть + = . Отложим от точки А вектор , пусть . Так как и имеют одинаковые длины и направления, то АВСD – параллелограмм. Следовательно, отрезки АВ и DC тоже имеют одинаковые длины и направления. Итак, . По правилу сложения векторов

Рис. 3

и . Отсюда .

б) Векторы и параллельны и одинаково направлены (сонаправлены). В этом случае при откладывании от точки А получим , (рис.4). Векторы и сонаправлены с вектором ,

Рис. 4

поэтому сонаправлены между собой. Очевидно, . Следовательно, , т.е. .

в) Случай, когда векторы и параллельны и противоположно направлены, рассмотрите самостоятельно.

Определение 4. Векторы называются коллинеарными, если их можно отложить на одной прямой.

Очевидно, два вектора неколлинеарны тогда и только тогда, когда они ненулевые и не параллельные. Из случая а) проведённого доказательства следует ещё одно правило сложения неколлинеарных векторов:

Чтобы сложить два неколлинеарных вектора, достаточно отложить их от одной точки, построить на них, как на сторонах, параллелограмм, тогда диагональ этого параллелограмма, идущая из данной точки, будет задавать вектор суммы.

50. для любых векторов Доказательство. Для левой части получим . Для правой части . Итак, результаты равны. Из свойств 10 – 50 вытекает

Рис. 5

Теорема 1. Множество всех геометрических векторов есть аддитивная абелева группа.

Определение 5.Разностью упорядоченной пары векторов называется сумма первого вектора и вектора, противоположного второму, т.е.

.

Чтобы вычесть из одного вектора второй, достаточно отложить оба вектора от одной точки. Тогда вектор, соединяющий концы полученных отрезков и направленный в сторону уменьшаемого, будет вектором разности (рис. 6). Очевидно, это правило не зависит от того, будут ли векторы коллинеарными или неколлинеарными. Свойства разности:

Рис. 6

1⁰. Для любой упорядоченной пары векторов их разность определена и однозначна.

2⁰. Разность двух векторов антикоммутативна.

для любых векторов и .

3⁰. Не выполняется ассоциативный закон, а именно

для любых векторов , и .

Задача 1. АВСDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед, = , , ,

, , , . Найдите 1) ; 2) . Решение. 1)Так как , , , то = + + + = . 2) Так как и , то = .

Рис. 7

Умножение вектора на действительное число

Определение 6. Произведением ненулевого вектора на отличное от нуля действительное число a называется такой вектор (обозначение ), что

,

, если a > 0,

, если a < 0.

Если или a = 0, то вектор считается равным нулевому вектору.

Свойства операции умножения вектора на действительное число.

1⁰. Произведение любого вектора на любое действительное число определено и однозначно.

2⁰. 1 для любого вектора .

3⁰. для любого вектора и любых действительных чисел a,b.

Доказательство. Возможны случаи.

1) a = 0, или b = 0, или = . В этом случае равенство очевидно.

2) a ¹ 0, b ¹ 0 и ¹ . Сравним длины и направления векторов, стоящих в левой и правой частях доказываемого равенства.

,

.

Следовательно, . Так как направления векторов зависят от знаков коэффициентов, то рассмотрим все возможные случаи.

а) a и b одного знака (пусть a > 0, b > 0). В этом случае a × b > 0.

,

, следовательно, .

Итак, левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.

б) a и b имеют разные знаки (пусть a > 0, b < 0). В этом случае a × b < 0.

.

.

Снова получили, что левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.

4⁰. и ( для любых векторов , и любых действительных чисел a, b. (Докажите это свойство самостоятельно).

Теорема 2. Множество всех геометрических векторов есть векторное (линейное) пространство над полем действительных чисел.

Доказательство следует из теоремы 1 и свойств 1⁰ – 4⁰ операции умножения вектора на действительное число.

Коллинеарные векторы

Определение 7. Векторы называются коллинеарными, если их можно отложить на одной прямой.

Свойства коллинеарных векторов.

1⁰. Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.

2⁰. Противоположные векторы коллинеарны.

3⁰. При сложении двух коллинеарных векторов получается вектор, коллинеарный с данными векторами. Следовательно, множество коллинеарных векторов замкнуто относительно операции сложения.

4⁰. Если вектор умножить на действительное число, то получится вектор, коллинеарный данному. Следовательно, множество коллинеарных векторов замкнуто относительно операции умножения на действительное число.

Из этих свойств вытекает

Теорема 3. Множество всех коллинеарных векторов есть векторное (линейное) пространство над полем действительных чисел.

5⁰. Если два вектора коллинеарны, то хотя бы один из них можно представить в виде произведения другого на действительное число.

Доказательство. Пусть векторы и коллинеарны. Если вектор = , то = 0 . Если = , то = 0 × . Если ¹ , ¹ и , то = . Если , то = - .

Из двух последних свойств следуют следующие два свойства.

6⁰. (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов)

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде произведения другого на действительное число.

7⁰. Если вектор не нулевой, то любой вектор, коллинеарный с вектором , можно представить в виде . Иными словами, для задания множества всех коллинеарных векторов достаточно задать один ненулевой из них.

Следствие. Множество всех коллинеарных векторов есть одномерное векторное пространство над полем действительных чисел. Базисом в нём является любой его ненулевой вектор.

Задача 2. Отрезок АВ точками С, Р, О, К, М, Т разбит на семь равных частей. Пусть

. Выразить через вектор векторы . Решение. , , , , .

Рис. 8

1.5. Компланарные векторы

Определение 8. Векторы называются компланарными, если их можно отложить в одной плоскости.

Свойства компланарных векторов.

1⁰. Коллинеарные векторы компланарны. Иными словами, во множество всех возможных компланарных между собой векторов вместе с каждым его вектором входят все векторы, коллинеарные с ним. В частности, нулевой вектор содержится в любом таком множестве и вместе с каждым вектором в это множество входит противоположный ему вектор. Отсюда же следует, что множество компланарных векторов замкнуто относительно операции умножения на действительное число.

2⁰. Сумма двух векторов есть вектор, компланарный с ними. Следовательно, множество компланарных векторов замкнуто относительно операции сложения.

3⁰. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации двух других.

Доказательство. Þ Пусть векторы компланарны. Возможны два случая.

1) Среди данных векторов есть хотя бы одна пара коллинеарных векторов. Пусть и коллинеарны. Тогда, по свойствам коллинеарных векторов, хотя бы один из них можно выразить через другой. Пусть . Тогда , т.е. вектор есть линейная комбинация векторов и .

2) Данные векторы попарно не коллинеарны. Отложим их от одной точки О. Пусть , , . Отрезки ОА, ОВ, ОС попарно не параллельны. Проведём СD ïïОА так, что D Î ОВ (прямой ОВ). Тогда получим , т.е. вектор есть линейная комбинация векторов и .

Рис. 9

Ü Пусть . По свойствам 1⁰ и 2⁰ следует, что вектор компланарен с векторами и .

4⁰. Если векторы и не коллинеарны, то любой компланарный с ними вектор можно представить в виде их линейной комбинации.

Теорема 4. Множество всех компланарных векторов есть двумерное векторное пространство над полем действительных чисел. Базисом в нём является любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Доказательство следует изпредыдущих свойств.

Задача 3.АВСD и AB₁C₁D₁ - два произвольных параллелограмма.

Докажите, что векторы , , параллельны одной плоскости. Решение. Для решения задачи достаточно показать, что эти векторы компланарны. ; ; = = ( ) + ( ) = = . Так как , то эти векторы компланарны .

Рис. 10

Теорема 5. Если векторы не компланарные, то любой геометрический вектор можно представить в виде их линейной комбинации.

Доказательство. Пусть векторы не компланарны. Очевидно, никакие два из них не являются коллинеарными. Пусть - любой вектор. Возможны два случая.

1) Вектор компланарен с какой-нибудь парой данных векторов. Пусть компланарен с векторами и .Тогда по свойству 3⁰ компланарных векторов .

2) Вектор не компланарен ни с одной парой данных векторов. Отложим все четыре вектора от одной точки О. пусть , , и (рис. 11). Проведём (DM) || (M Î (AOB)) и (MN) || (N Î (OA)). Тогда . Но коллинеарен вектору , поэтому . Аналогично, , . Следовательно, .

Рис. 11

Теорема 6. Множество всех геометрических векторов есть трёхмерное векторное пространство над полем действительных чисел. Базисом в нём является любая упорядоченная тройка некомланарных векторов.

Доказательство следует из теоремы 5 и свойств компланарных векторов.

В курсе линейной алгебры (в первом семестре) введены координаты вектора в данном базисе и рассмотрены свойства координат. Все определения и свойства их будут использоваться в векторных пространствах геометрических векторов.

Если в векторном пространстве зафиксированы два базиса В и В¹, Т – матрица перехода от базиса В к базису В¹, х и х¹ столбцы координат данного вектора в базисах В и В¹ соответственно, то х = Т×х¹. Если эти формулы переписать в координатах во множестве компланарных векторов, то получим

где , .

Во множестве всех геометрических векторов

где , ,

 

---

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:

©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.