Указания и подсказки к решению задач

1. Возможно, вы находили среднюю скорость как среднее арифметическое и потому получили одинаковые ответы. Запишите определение средней скорости и обратите внимание, что в первом случае автомобиль двигался половину времени, а во втором – половину пути со скоростью .

2. Выберите систему координат, сделайте схематический чертеж и попробуйте записать уравнение движения. Если вам это удастся, из него можно будет найти начальную скорость. Если есть сложности с записью закона движения, см. п. 19.

3. Найдем время, которое необходимо для подъема на высоту м при начальной скорости м/с. Из уравнения (1.6)

. (1.6)

найдем с, с. Таким образом, камень будет на данной высоте дважды: первый раз через 1 с (когда поднимается) и второй – через 6 с (когда опускается). Аналогично и во втором случае найдем с, с. Окончательный анализ можно проверить в п. 55.

4. Пусть лодка начинает движение из точки О, которую примем за начало координат. Направим ось вдоль движения реки, тогда ось совпадет с тем направлением, в котором двигалась бы лодка, если бы не было течения, т.е. она попала бы на противоположный берег в точке . В действительности лодка попадает в некоторую точку, которая находится ниже по течению от точки . Скорость лодки относительно воды совпадает с направлением оси , скорость течения – с направлением оси , результирующую скорость можно найти по правилу сложения векторов (п. 47). Сравните свой чертеж с чертежом на рис. к п. 58. Если вы не знаете, как найти результирующую скорость, – см. п. 34.

17. Время движения камня вверх равняется времени его падения на землю, значение скорости начала движения камня равняется значению скорости его падения.

18. Чему равняется координата , когда камень упадет на землю? Понятно, как найти время? Если нет – см. п. 36.

19. Ось направим вертикально вверх, начало координат выберем в точке, где находилось тело в начальный момент времени. Тогда в уравнении (1.6)

. (1.6)

начальная скорость будет иметь знак «+», а ускорение свободного падения – знак «–».

20. По определению средняя скорость равняется отношению всего пути ко всему времени движения. Путь и время в задаче не заданы, но известно, что первую половину времени (пути во втором случае) автомобиль двигался со скоростью , а вторую половину времени (пути) – с . Попробуйте выразить путь или время через скорости. Если все-таки не понятно, что делать дальше, – см. п. 31.

21. По условию задачи надо найти максимальную высоту подъема. Запишите уравнение движения и вспомните, что математически означает максимум или чему равняется V_y в верхней точке траектории (п. 44). Если вы вспомните условие максимума, тогда из него можно будет найти – время, которое отвечает максимальной высоте подъема , а потом и само значение .

26. Движение лодки относительно берега состоит из движения лодки относительно воды и движения воды относительно берега. Выполните чертеж и примените закон сложения скоростей (п. 43). Если вы не можете сделать чертеж для пунктов а) и б) – см. п. 53, для пункта в) – п. 4. Проверить чертеж можно в пп. 57-58.

29. Найдем скорость камня через 6 с. м/с. Знак «–» указывает на то, что в этот момент камень будет иметь скорость, направленную не вверх, а вниз. Другими словами, если бросить камень вверх со скоростью м/с, то он достигнет высоты м не за 6 с, а раньше, и в момент с он будет на этой высоте вторично. Найдите момент времени, когда тело проходит высоту м в первом и втором случаях. Проверить ваши соображения можно в п. 3. Окончательный анализ результата приведен в п. 55.

30. Из условия максимума высоты следует, что V_y = 0, откуда .

31. Рассмотрим первый случай. Из условия задачи следует, что . Автомобиль двигается равномерно прямолинейно, тогда пути можно рассчитать как и . Остается лишь подставить эти выражения в формулу для расчета средней скорости. Аналогично действуйте и во втором случае. Если не получилось, – см. п. 45.

33. а) ; б) .

34. .

35. Средняя скорость движения в общем случае не равняется средней арифметической от скоростей на разных участках пути.

36. Когда тело упадет на землю, его координата . Уравнение имеет два решения и , второй ответ соответствует началу движения.

43. Если известна скорость тела в системе отсчета, которая двигается относительно некоторой условно неподвижной системы отсчета со скоростью , то при переходе к неподвижной системе отсчета результирующая скорость тела в этой системе отсчета определяется: .

44. Математически условие экстремума означает, что касательная к графику горизонтальна или V_y = 0, а функция изменяет свой знак при переходе через точку экстремума.

45. Из условия задачи следует, что . Автомобиль двигается равномерно прямолинейно, тогда время можно рассчитать как и .

46. Для анализа полученного результата сделаем дополнительные расчеты. Найдите скорость камня через 6 с после начала движения. Теперь можете объяснить результат? Если нет – см. п. 29.

47. В этом случае удобно воспользоваться правилом треугольника или, как называют его в иностранной литературе, методом «хвост к голове». Ведь для того, чтобы сложить векторы и (рис. к п. 47 а), надо переместить вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпадало с концом вектора (рис. к п. 47 б), тогда их суммой будет вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. к п. 47 в). Результат не изменится, если поменять векторы и местами.

53. Пусть лодка начинает движение из точки О, которую примем за начало координат. Направим ось вдоль движения лодки. В случае а) направление течения совпадает с направлением движения лодки, а в случае б) направлено в противоположную сторону. Примените правило сложения скоростей (п. 43), проверить уравнение в проекции на ось можно в п. 33.

54. Надо применить уравнения (1.6).

. (1.6)

Время вы нашли раньше.

55. Таким образом, оба рассмотренных случая относятся не к подъему, а к спуску. Но для того, чтобы достичь таким путем высоты за 3 с нужна, очевидно, меньшая начальная скорость, чем для того, чтобы сделать это за 6 с. Из анализа также следует, что достичь высоты м за 6 с или за 3 с можно лишь при спуске. При подъеме это невозможно сделать при любой начальной скорости.

56. Перечитайте внимательно п. 21 и п. 44, если все-таки не ясно – п. 30.

57. Рис. к п. 57.

58. Рис. к п. 58.

70. Возможно, вы не применили закон сложения скоростей. Проверьте ваше решение в п. 4.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: