Координаты точки, равноудаленной от двух заданных
Постановка задачи. Найти координаты точки , равноудаленной от точек и .
План решения. Расстояние между точками и определяется равенством
.
1. Находим расстояние между точками: и .
2. Так как по условию задачи эти расстояния равны, то составляем равенство и разрешаем его относительно неизвестных координат.
Задача 10. Найти координаты точки , равноудаленной от точек и .
Находим
Так как по условию задачи , то
Таким образом .
Перейти к содержанию
Преобразование подобия с центром в начале координат
Постановка задачи. Даны точка и плоскость . Проверить, что точка принадлежит образу плоскости при преобразовании подобия с центром в начале координат и коэффициентом преобразования .
План решения. При преобразовании подобия с центром в начале координат и коэффициентом преобразования плоскость переходит в плоскость .
1. Находим образ плоскости .
2. Подставляем координаты точки в уравнение плоскости :
.
Если получаем истинное числовое тождество, то точка принадлежит образу плоскости. Если равенство не выполняется, то данная точка не принадлежит образу плоскости.
Задача 11. Пусть – коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка принадлежит образу плоскости ?
При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость переходит в плоскость . Поэтому образ плоскости есть
Т.е. точка принадлежит образу плоскости .
Перейти к содержанию
Канонические уравнения прямой
Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
План решения. Канонические уравнения прямой с направляющим вектором , проходящей через данную точку , имеют вид
. (1)
Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем
. (2)
2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.
3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).
Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой:
,
где – координаты какой-либо точки прямой, – ее направляющий вектор.
Находим
Найдем какую-либо точку прямой . Пусть , тогда
Следовательно, – координаты точки, принадлежащей прямой.
Канонические уравнения прямой:
.
Перейти к содержанию
Точка пересечения прямой и плоскости
Постановка задачи. Найти точку пересечения прямой и плоскости .
План решения.
1. Находим параметрические уравнения прямой. Для этого полагаем
,
откуда получаем
2. Подставляя эти выражения для в уравнение плоскости и решая его относительно , находим значение параметра , при котором происходит пересечение прямой и плоскости.
3. Найденное значение подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:
Замечание. Если в результате решения уравнения относительно параметра получим противоречие, то прямая и плоскость параллельны (это эквивалентно условию ).
Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Запишем параметрические уравнения прямой.
Подставляем в уравнение плоскости:
Откуда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут .
Перейти к содержанию
14. Симметрия относительно прямой
Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .
План решения.
1. Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точку . Так плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взять направляющий вектор прямой, т.е.
.
Поэтому уравнение плоскости будет
.
2. Находим точку пересечения прямой и плоскости (см. задачу 13).
3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому
.
Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно прямой.
Уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно заданной прямой будет:
Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка , поэтому
Т.е. .
Перейти к содержанию
15 . Симметрия относительно плоскости
Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .
План решения.
1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку . Так прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е.
.
Поэтому уравнение прямой будет
.
2. Находим точку пересечения прямой и плоскости (см. задачу 13).
3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому
.
Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости.
Уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно заданной плоскости будет:
.
Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка , поэтому
Т.е. .
Перейти к содержанию
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:
©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|