Сделай Сам Свою Работу на 5

Координаты точки, равноудаленной от двух заданных





Постановка задачи. Найти координаты точки , равноудаленной от точек и .

План решения. Расстояние между точками и определяется равенством

.

1. Находим расстояние между точками: и .

2. Так как по условию задачи эти расстояния равны, то составляем равенство и разрешаем его относительно неизвестных координат.

Задача 10. Найти координаты точки , равноудаленной от точек и .

Находим

Так как по условию задачи , то

Таким образом .

 

Перейти к содержанию

 

 

Преобразование подобия с центром в начале координат

Постановка задачи. Даны точка и плоскость . Проверить, что точка принадлежит образу плоскости при преобразовании подобия с центром в начале координат и коэффициентом преобразования .

План решения. При преобразовании подобия с центром в начале координат и коэффициентом преобразования плоскость переходит в плоскость .

1. Находим образ плоскости .

2. Подставляем координаты точки в уравнение плоскости :

.

Если получаем истинное числовое тождество, то точка принадлежит образу плоскости. Если равенство не выполняется, то данная точка не принадлежит образу плоскости.



Задача 11. Пусть – коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка принадлежит образу плоскости ?

При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость переходит в плоскость . Поэтому образ плоскости есть

Т.е. точка принадлежит образу плоскости .

Перейти к содержанию

Канонические уравнения прямой

Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)

План решения. Канонические уравнения прямой с направляющим вектором , проходящей через данную точку , имеют вид

. (1)

Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.

1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем

. (2)

2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.



3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).

Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.

Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой:

,

где – координаты какой-либо точки прямой, – ее направляющий вектор.

Находим

Найдем какую-либо точку прямой . Пусть , тогда

Следовательно, – координаты точки, принадлежащей прямой.

Канонические уравнения прямой:

.

 

Перейти к содержанию

 

 

Точка пересечения прямой и плоскости

Постановка задачи. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

План решения.

1. Находим параметрические уравнения прямой. Для этого полагаем

,

откуда получаем

2. Подставляя эти выражения для в уравнение плоскости и решая его относительно , находим значение параметра , при котором происходит пересечение прямой и плоскости.

3. Найденное значение подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:

Замечание. Если в результате решения уравнения относительно параметра получим противоречие, то прямая и плоскость параллельны (это эквивалентно условию ).



Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.

Запишем параметрические уравнения прямой.

Подставляем в уравнение плоскости:

Откуда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут .

 

 

Перейти к содержанию

 

 


14. Симметрия относительно прямой

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке относительно прямой .

План решения.

1. Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точку . Так плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взять направляющий вектор прямой, т.е.

.

Поэтому уравнение плоскости будет

.

2. Находим точку пересечения прямой и плоскости (см. задачу 13).

3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому

.

Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно прямой.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярно заданной прямой будет:

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка , поэтому

Т.е. .

 

Перейти к содержанию


15 . Симметрия относительно плоскости

Постановка задачи. Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .

План решения.

1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку . Так прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е.

.

Поэтому уравнение прямой будет

.

2. Находим точку пересечения прямой и плоскости (см. задачу 13).

3. Точка является серединой отрезка , где точка является точкой симметричной точке , поэтому

.

Задача 14. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости.

Уравнение прямой, которая проходит через точку перпендикулярно заданной плоскости будет:

.

Найдем точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. является серединой отрезка , поэтому

Т.е. .

 

Перейти к содержанию

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.