Сделай Сам Свою Работу на 5

Расстояние от точки до плоскости





Методические указания для выполнения лабораторных по курсу «Аналитическая геометрия»

Содержание

1. Разложение вектора по базису……………………………………...3

2. Коллинеарность векторов………………………………………......5

3. Угол между векторами……………………………………………....8

4. Площадь параллелограмма………………………………………..10

5. Компланарность векторов………………………………………....11

6. Объем и высота тетраэдра………………………………………….12

7. Расстояние от точки до плоскости………………………………...15

8. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору……………………………….19

9. Угол между плоскостями…………………………………………..21

10. Координаты точки, равноудаленной от двух заданных……….22

11. Преобразование подобия с центром в начале координат……...23

12. Канонические уравнения прямой…………………………………24

13. Точка пересечения прямой и плоскости………………………….26

14. Симметрия относительно прямой…………………………………28

15. Симметрия относительно плоскости……………………………...30

Разложение вектора по базису

Постановка задачи.Найти разложение вектора по векторам



.

План решения.

1. Искомое разложение вектора имеет вид

.

2. Это векторное уравнение относительно эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными

3. Решаем эту систему линейных алгебраических уравнений относительно переменных и таким образом определяем коэффициенты разложения вектора по векторам .

Замечание. Если система уравнений не имеет решений (векторы лежат в одной плоскости, а вектор ей не принадлежит), то вектор нельзя разложить по векторам . Если же система уравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы и вектор лежат в одной плоскости), то разложение вектора по векторам неоднозначно.

Задача 1.Написать разложение вектора по векторам .

Имеем

,

или

Т.е. искомое разложение имеет вид

.

 

Перейти к содержанию

 

 

Коллинеарность векторов

Постановка задачи. Коллинеарны ли векторы и построенные по векторам и .

План решения.

Способ 1. Векторы коллинеарны если существует такое число такое, что . Т.е. векторы коллинеарны если их координаты пропорциональны.



1. Находим координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.

2. Если координаты векторов и пропорциональны, т.е.

,

то векторы и коллинеарны. Если равенства

.

не выполняются, то эти векторы не коллинеарны.

Способ 2. Векторы коллинеарны если их векторное произведение равно нулю, т.е. .

1. Находим координаты векторов и , пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.

2. Если векторное произведение векторов и

,

то векторы коллинеарны. Если же векторное произведение не равно нулю, то векторы не коллинеарны.

Задача 2. Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?

Способ 1. Находим

Имеем

.

Т.е. векторы и не коллинеарны.

Способ 2. Находим

Имеем

Т.е. векторы и не коллинеарны.

 

 

Перейти к содержанию

 

Угол между векторами

Постановка задачи. Даны точки , и . Найти косинус угла между векторами и .

План решения. Косинус угла между векторами и определяется формулой

(1)

1. Чтобы вычислить длины векторов и и скалярное произведение , находим координаты векторов

2. По формулам длины вектора и скалярного произведения векторов находим

3. Вычисляем по формуле (1).

Замечание. Скалярное произведение векторов также может обозначаться .

Задача 3. Найти косинус угла между векторами и .

Имеем

Находим

 

 

Перейти к содержанию

 

Площадь параллелограмма



Постановка задачи. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если известно, что и угол между векторами и равен .

План решения. Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна модулю их векторного произведения

. (1)

1. Вычисляем векторное произведение , используя его свойства

2. Находим площадь параллелограмма по формуле (1), используя определение векторного произведения:

.

Замечание. Векторное произведение векторов может также обозначаться .

Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Находим

Перейти к содержанию

5. Компланарность векторов

Постановка задачи. Комланарны ли векторы , и .

План решения.Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю.

1. Смешанное произведении векторов выражается через их координаты формулой

.

2. Если определитель в правой части этого равенства равен нулю, то векторы компланарны; если же определитель не равен нулю, то векторы не компланарны.

Задача 5. Компланарны ли векторы , и ?

Находим

.

Т.е. векторы , и не компланарны.

 

 

Перейти к содержанию

 

Объем и высота тетраэдра

Постановка задачи. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках

и его высоту, опущенную из вершины на грань .

План решения.

1. Из вершины проведем векторы

,

,

.

2. В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем

. (1)

С другой стороны

,

где согласно геометрическому смыслу векторного произведения

. (2)

Сравнивая формулы (1) и (2), получаем

. (3)

2. Вычисляем смешанное произведение

и находим объем тетраэдра по формуле (1).

3. Вычисляем координаты векторного произведения

и его модуль.

4. Находим высоту по формуле (3).

Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань .

Находим

.

.

.

Перейти к содержанию

 

Расстояние от точки до плоскости

Постановка задачи. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки , и .

План решения.

Способ 1.

Расстояние от точки до плоскости равно

. (1)

1. Находим уравнение плоскости, проходящей через три точки , и

.

2. По формуле (1) находим искомое расстояние.

Способ 2.

Расстояние от точки до плоскости равно длине проекции вектора на нормальный вектор плоскости , т.е.

. (2)

Поскольку нормальный вектор плоскости ортогонален векторам и , его можно найти как их векторное произведение:

.

1. Находим координаты векторов:

и нормального вектора плоскости

.

2. По формуле (2) находим искомое расстояние.

Способ 3.

Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с вершинами , , и , опущенную из вершины на грань (см. задачу 6).

Задача 7. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через точки .

Способ 1.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

.

Расстояние от точки до плоскости

.

Находим

.

Способ 2.

Находим

.

Расстояние от точки до плоскости

.

Способ 3.

Находим

.

Расстояние

.

 

 

Перейти к содержанию

 

8. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору

Постановка задачи. Написать общее уравнение плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору , где точки и имеют координаты и .

План решения. Пусть – текущая точка плоскости, – ее нормальный вектор, тогда векторы и перпендикулярны, а значит их скалярное произведение равно нулю, т.е.

или

. (1)

Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .

1. В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор

.

2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором , проходящей через точку :

.

Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Находим

.

Так как вектор перпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид

 

Перейти к содержанию

 

Угол между плоскостями

Постановка задачи. Найти угол между плоскостями и .

План решения.Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и . Поэтому угол между плоскостями определяется формулой

.

Задача 9. Найти угол между плоскостями.

Нормальные векторы заданных плоскостей

.

Находим

Перейти к содержанию

 

 

 








Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.