|
|
Занятие 23 (16.04.2011). Составление уравнений12 1. Решите уравнение (x:2 − 3):2 − 1 = 3. Решение Ответ Решение. Делаем всё в обратном порядке: 2. Деду 56 лет, внуку — 14. Через сколько лет дедушка будет вдвое старше внука? Решение Ответ Решение. Пусть это произойдёт через x лет. Тогда 3. Упаковка чая на 50 копеек дороже пакета кофе. Вася купил 7 упаковок чая и 6 пакетов кофе, потратив 68 рублей 50 копеек. Сколько стоит пакет кофе? Решение Ответ Решение. Пусть пакет кофе стоит x рублей, тогда упаковка чая стоит x + 0,5. Значит, 4. 9 одинаковых тетрадок стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же тетрадок — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна тетрадка? Решение Ответ Решение. Обозначим за x рублей цену одной тетрадки. Тогда условие задачи можно переписать так: 5. Представьте число 45 в виде суммы четырёх чисел так, что после прибавления 2 к первому числу, вычитания 2 из второго, умножения на 2 третьего и деления на 2 четвёртого эти числа станут равными. Решение Ответ Решение. Пусть в итоге все числа стали равны x. 6. В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике? Решение Ответ Решение. Обозначим количество орехов в ящиках x, y, z соответственно. Тогда получаем, что 7. Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль — 5, а Тофсла — 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются.) Решение Ответ Решение. Если в Вифслу, Тофслу и Хемуля попали x, y и z снежков соответственно, то всего было брошено 13 + x + y + z снежков (поскольку 13 снежков не достигли цели). С другой стороны, Вифсла бросил 6x, Хемуль — 5y, а Тофсла — (4z + 1) снежков (вместе с первым). Получаем уравнение 8. Ваня 28 ноября сказал: «Сегодня разность между числом прожитых мною полных месяцев и числом полных лет впервые стала равна 144». Когда у Вани День рождения? Решение Ответ Решение. Пусть с того момента, как Ваня родился, до 28 ноября этого года прошло x лет и ещё y месяцев (y от 0 до 11). Значит, полных месяцев всего прошло 12x + y. Тогда
Ответ Решение Решение. Первая дробь на 1/2010 меньше числа 1, а вторая на 1/2011. Т. к. 1/2010 > 1/2011, то вторая дробь больше. 2. Напишите, используя каждую из цифр 1, 2, 3, 4 ровно два раза, восьмизначное число, у которого между единицами стоит ровно 1 цифра, между двойками — ровно 2 цифры, между тройками — ровно 3 и между четверками — ровно 4 цифры. Ответ Ответ. 23421314. 3. Миша, Антон и Степан решали задачки. Миша сказал: «Я решил больше всех задач». Антон усомнился: «Либо ты решил не больше всех, либо Степан меньше всех». Степан сказал: «Я решил больше задач, чем Антон». Кто решил больше всех задач, если прав только один из мальчиков? Ответ объясните. Ответ Решение 4.
Ответ Решение Решение. Тогда рубль стоит
гривен. 5. Решите ребус: ТИК+ТАК=АКТ. Буквами зашифрованы цифры. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. Ответ Решение Решение. Заметим, что Т — четное, так как оно равно последней цифре суммы (К + К). С другой стороны, Т ≤ 4, так как иначе АКТ не может быть трёхзначным числом. Таким образом, Т = 2 или Т = 4. Если Т = 2, то К = 1 или К = 6. В первом случае, нетрудно проверить, что А = 5, а И = 6. Во втором случае, А = 4 (тогда И = 1) или А = 5 (тогда И не может быть однозначным числом — противоречие). Если Т = 4, то К = 2 или К = 7. В первом случае, А = 9, а И = 3. А второй случай, как нетрудно проверить, к решению не приводит. 6. Пятеро по очереди ели торт. Первый съел пятую его часть, второй — четверть остатка, третий — треть нового остатка, четвертый — половину того, что осталось после третьего, а пятый доел торт до конца. Кто из них съел больше всех? Ответ Решение Решение. Первый съел 1/5. Осталось 1 − 1/5 = 4/5. 7. В Циссильвании 1000 жителей. Трое из них — вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными опроса (и зная, что вампиров в Циссильвании ровно трое), м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром. Решение Решение. Известно, что все вампиры указали друг на друга. Значит, они образуют тройку, внутри которой каждый показывает на двух других. Любой житель может входить не более, чем в одну такую тройку. Все жители не могут разбиться на такие тройки, так как их количество не делится на 3. Поэтому найдётся житель, не вошедший в такую тройку. Значит, он не является вампиром. 8. В однокруговом футбольном турнире (каждая команда с каждой сыграла ровно по одному матчу) участвовало 7 команд. По итогам турнира оказалось, что команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков. Могло ли по итогам турнира оказаться ровно 6 ничьих? (за победу даётся 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0) Ответ Решение Решение. Всего игр было сыграно
Если всего было 6 ничьих, то всего команды набрали (21 − 6) · 3 + 6 · 2 = 45 + 12 = 57 очков. Но тогда первые три команды набрали 57/2 = 28,5 очков, чего не может быть.
Ответ Решение Решение. Путь от места их встречи до дома Пуха Пух прошел за 2 минуты. А т.к. скорость Пятачка в два раза меньше, то он пройдет этот путь за 4 минуты. 2. Винни-Пух вышел из гостей от Кристофера Робина на 1 минуту позже Пятачка. Через какое время он догонит Пятачка, если его скорость в два раза больше скорости Пятачка? Ответ Решение Решение. За одну минуту Пух проходит то же расстояние, что и Пятачок за 2 минуты. Значит, он догонит Пятачка через минуту. 3. Тигра и Винни-Пух пошли в гости к Кристоферу Робину. Сначала Тигра побежал в два раза быстрее Винни-Пуха, но, пробежав половину дороги, неожиданно утомился и оставшийся путь прополз со скоростью в два раза меньшей скорости Винни-Пуха. Кто раньше встретился с Кристофером Робином — Тигра или Винни-Пух? Ответ Решение Решение. Когда Тигра пробежит половину пути, Пух пройдет только четверть. Затем Пуху останется пройти три четверти пути. За это время Тигра проползет только 3/8 пути, что меньше половины. Т.е. Пух придет раньше. 4. Тигра умеет бегать со скоростью 30 километров в час и очень хочет научиться тратить на каждый километр на одну минуту меньше. С какой скоростью нужно научиться бегать Тигре? Ответ Решение Решение. Т.к. Тигра тратит на каждые 30 километров 60 минут, то на каждый километр он тратит 2 минуты. Если он будет тратить на каждый километр на одну минуту меньше, то будет бегать со скоростью 1 км/мин, или 60 км/ч. 5. Упрямый Винни-Пух решил дойти пешком до Северного полюса. В 12 часов его нагнал Кристофер Робин на велосипеде и подвёз до того места, откуда до Северного полюса оставалось столько же, сколько Винни уже прошёл пешком. На Северном полюсе Винни-Пух был в 14 часов. Сколько времени потребуется Винни-Пуху на обратный путь пешком, если известно, что на велосипеде его везли со скоростью вдвое большей, чем он ходит пешком? Ответ Решение Решение. Пусть S — место, с которого начал свой путь Пух, K — место, где он встретился c Кристофером Робином, L — место, с которого он снова пошел пешком, N — Северный полюс. На обратном пути Пуху надо пройти путь NS = NL + LK + KS = 2NL + LK. При этом за 2 часа Пух проходит отрезок LS и проезжает отрезокKL. Значит, за 4 часа он проходит отрезок KL и два отрезка LS = NL. Т.е. путь NS он пройдет за 4 часа. 6. Юля и Таня делали уроки. Каждая из них начала с математики, затем выучила стихотворение, следом прочитала текст на английском языке и, наконец, выполнила упражнение по русскому языку. На каждый предмет у Юли уходило в два раза меньше времени, чем на предыдущий, а у Тани — в 4 раза меньше времени, чем на предыдущий. Начали и закончили они одновременно. Что делала Таня, когда Юля взялась за русский язык? Ответ Решение Решение. Пусть Юля делала русский x минут, а Таня — y минут. Тогда на оставшиеся предметы они потратили: Юля x + 2x + 4x + 8x = 15x минут, а Таня y + 4y + 16y + 64y = 85y минут. Т.к. начали и закончили они одновременно, то 85y = 15x. Значит, x = 17/3·y. Но тогда Юля начал делать русский через A = 14·17/3·y =238/3·y = 791/3·y минут. Т.к. Таня начала учить стихотворение через 64y < A минут, а закончила через 80y > Aминут, то когда Юля взялась за русский язык, Таня учила стихотворение. 7. Двое бегут с разной скоростью вниз по эскалатору метро. Кто из них насчитает больше ступенек — тот кто бежит быстрее, или тот кто бежит медленнее? Ответ Решение Решение. Насчитает ступенек больше тот, кто пробежит по самому эскалатору большее расстояние. А пробежит тот, кто бежит быстрее. 8. Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растет так, что каждая его точка поднимается вверх с одной и той же скоростью. Путь вверх занял у улитки 7 часов. Отдохнув на вершине бамбука ровно час, она спустилась на землю за 8 часов. Во сколько раз скорость улитки больше скорости роста бамбука (обе скорости постоянны)? Ответ Решение Решение. Всего улитка провела на бамбуке 7 + 1 + 8 = 16 часов. Пусть, поднимаясь вверх, улитка проползла расстояние равное x, а за 1 час отдыха и 8 часов спуска улитки бамбук подрос на y. Тогда, спускаясь вниз, улитка проползла x + y. Составим выражения для определения скорости улитки при движении вверх по бамбуку x/7 и при спуске (x + y)/8. Получим, что x/7 = (x + y)/8, т.е. 8x = 7x + 7y, или x = 7y. Так как бамбук подрос на y за 9 часов, скорость его роста равна y/9. Выполняя деление последнего равенства на 7, получим, что x/7 = 7y/7, откуда x/7 = 9·y/9. Значит, скорость роста бамбука в 9 раз меньше скорости улитки.
Ответ Решение Решение. В 4 часа дня часы пробили четыре раза. Значит, между любыми двумя ударами проходит 6/3 = 2 секунды. (Между 4 ударами часов есть 3 промежутка.) Тогда в 12 часов между первым и последним ударом есть 11 промежутков по 2 секунды, а значит, между ними пройдет 22 секунды. 2. На часах, которые ходят точно, оторвались все цифры. Остались только деления без подписей. Как узнать, куда нужно вернуть каждую цифру? (Других часов у вас нет.) Решение Решение. За 12 часов маленькая стрелка проходит полный круг. За это время она несколько раз совпадает с минутной. Но только один раз это происходит, когда и минутная, и часовая стрелки показывают на одно и то же деление. Это происходит в 12 часов. Таким образом, можно узнать какое из отмеченных делений соответствует 12. Остальные цифры нужно прикреплять последовательно по ходу часовой стрелки. 3. Катя на выполнение домашнего задания тратит на 10% больше времени, чем Лена. А Маша тратит на 10% меньше времени, чем Катя. Кто из девочек быстрее всего делает домашнее задание? Ответ Решение Решение. Заметим, что т.к. Катино время больше, чем Ленино, то и 10% от Катиного больше 10% от Лениного. Значит, Маша тратит времени меньше Лены. Значит, она тратит меньше всего. 4. Водитель дальнобойного грузовика взглянул на приборы своей машины и увидел, что спидометр показывает 25952. «Какое красивое число я проехал. Наверное, не скоро выпадет следующее красивое число», — подумал он. Однако через час двадцать минут на спидометре высветилось следующее красивое число. С какой скоростью ехал грузовик? Ответ Решение Решение. Красивых пятизначных чисел, начинающихся на 25 больше нет. Т.е. следующее число начинается на 26(такое хотя бы одно есть, например, 26062). Заметим, что задав первые две цифры красивого числа, мы задали и две последние: 26X62. Осталось выбрать минимально возможную третью цифру — это 0. Значит, за час двадцать минут он проехал 26062 − 25952=110 км. Значит, его скорость равна
= 82,5 км/ч. 5. Есть двое песочных часов: на 5 минут и на 8 минут. Как можно с них помощью засечь 7 минут? Решение Решение. Одновременно переворачиваем и те, и другие часы. Когда в 5-минутных часах песок полностью окажется в нижней части, перевернем их еще раз. Через 3 минуты песок полностью будет в нижней части в 8-минутных часах. В этот момент начинаем отмерять 7 минут. Через две минуты весь песок будет внизу в 5-минутных часах. Переворачиваем их, и когда он пересыпется еще раз, пройдет ровно 2 + 5 = 7 минут с того момента, как мы стали засекать время. 6. Разрежьте (если это возможно) циферблат на две части так, чтобы а) сумма чисел в каждой части была одинаковой; Ответ Ответ. б) сумма цифр в каждой части была одинаковой. Решение Решение. Так разрезать невозможно. Если бы так разрезать удалось, то суммы цифр в каждой из частей были бы равны, а, значит, сумма всех цифр была бы четной. Убедимся, что это не так: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + (1 + 0) + (1 + 1) + (1 + 2) = 45 + 1 + 2 + 3 = 51 — нечетное число. 7. Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол? Ответ Решение Решение. В сутки часовая стрелка делает 2 оборота, а минутная — 24. Т.к. минутная стрелка обгоняет часовую 22 раза и каждый раз с часовой стрелкой образует по два прямых угла, то ответ — 44. 8. Петин будильник испорчен: он спешит на 4 минуты в час. В 7 часов вечера Петя установил на нем точное время и поставил звонок на 7 часов утра. Во сколько Петя проснется? Ответ Решение Решение. Пусть у нас есть правильные часы и такие же часы, как у Пети. Будем отмерять время и по тем, и по другим. Если с 7 часов вечера до того момента, когда зазвенел будильник, пройдет x часов (или 60x минут), если отмерять по правильным часам, то по Петиным часам пройдет 64x минут. Так как будильник зазвенит, когда Петины часы будут показывать 7 часов утра, то по этим часам с 7 вечера прошло 12·60=720 минут. То есть, 64x=720. Тогда x = 720/64 = 45/4. Значит, от 7 часов вечера до того момента, когда зазвенит будильник, пройдет 45/4 часа или 11 часов 15 минут. Легко посчитать, что будильник зазвенит в 6 часов 15 минут
Решение Решение. Положим на каждую чашу по монете. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая монета — это третья, если же какая-то чаша оказалась легче, то на ней и лежит фальшивая монета. 2. Есть девять монет. Среди них одна фальшивая, которая весит меньше настоящей. Как с помощью двух взвешиваний определить фальшивую монету? Решение Решение. Положим на каждую чашу по три монеты. За первое взвешивание можно узнать в какой группе из трех монет находится фальшивая. А из трех монет за одно взвешивание находить фальшивую мы научились в предыдущей задаче. 3. Среди 101 монеты есть одна фальшивая, которая по весу отличается от настоящей. Но на этот раз неизвестно, в какую сторону. За два взвешивания определите, легче или тяжелее настоящей фальшивая монета. (Саму монету определять не нужно.) Решение Решение. Положим на каждую чашу по 50 монет. Если чаши будут весить одинаково, то оставшаяся монета фальшивая, а монеты, которые лежат на чашах, настоящие. Чтобы узнать, тяжелее или легче весит фальшивая настоящей, достаточно сравнить ее с любой настоящей монетой. Если же одна из чаш весит больше другой, то возьмем ее и разобьем на две кучки по 25 монет. Если они весят одинаково, то фальшивая монета была на другой чаше, значит, фальшивая легче. Если же одна из чаш перевесит, то фальшивая монета была в этих 50, т.е. фальшивая тяжелее. 4. Имеются четыре гири. Одна из них большая и тяжелая, вторая поменьше и полегче, третья — еще меньше и еще легче, а четвертая — самая маленькая и самая легкая. Гири по очереди ставятся на чашки весов (каждый раз берется любая из гирь и ставится на любую чашку весов). Можно ли, не зная точного веса гирь, положить по одной их все на весы в таком порядке, чтобы сначала три раза перевешивала левая чашка, а последний раз — правая? Решение Решение. Пусть самая тяжелая гиря — A, вторая — B, третья — C и четвертая — D. Сначала положим на левую чашу гирю B. Левая чаша перевесит. Затем добавим к ней гирю D. Левая чаша опять перевесит. Теперь положим на правую чашу гирю C. Т.к. B весит больше C, то левая снова перевесит. Теперь поставим гирю A на правую чашу. Т.к. A > B и C > D, правая чаша перевесит. 5. Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна — фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна — фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты. Решение Решение. Первым взвешиванием сравним веса первых двух монет. Вторым — веса третей и четвертой. Покажем, что если в обоих взвешиваниях одна из чаш перевешивала, то за оставшееся взвешивание можно установить фальшивые монеты. Действительно, тяжелая монета не может лежать на легкой чашке, а легкая на тяжелой. Также тяжелая и легкая монеты не могли участвовать в одном взвешивании. Значит, в одном взвешивании участвовали тяжелая и настоящая, а в другом — настоящая и легкая. Т.е. оставшаяся монета настоящая. Остается сравнить ее с монетой с тяжелой чаши, например, в первом взвешивании. Очевидно, в обоих взвешиваниях чаши не могли находиться в равновесии. Если же в одном из взвешиваний чаши находились в равновесии, то на ней лежали две настоящие монеты. Теперь взвесим настоящую и оставшуюся. Мы можем узнать тип этой монеты. А далее узнаем тип монет на чашах, находившихся в одном из первых двух взвешиваний не в равновесии. 6. В 9 мешках лежат настоящие монеты (по 10 г), а в одном — фальшивые (11 г). Одним взвешиванием на двухчашечных весах со стрелкой определите, в каком мешке фальшивые монеты. (Стрелка показывает, на сколько масса монет на «тяжёлой» чашке больше, чем на «легкой».) Решение Решение. Пронумеруем мешки числами от 1 до 10. Из i-го мешка возьмем i монет и положим на левую чашку. Ясно, что если бы все монеты были настоящими, то левая чаша была бы на 550 г тяжелее правой. А так она будет тяжелее правой на 550 + i г, где i — номер мешка, из которого взяты фальшивые монеты. 7. Имеются 64 монеты, все разные по весу. За не более, чем 94 взвешивания, определите самую легкую и самую тяжелую монеты. Решение Решение. Разобьем все монеты на 32 пары монет. Далее найдем в каждой паре легкую и тяжелую монету (это делается за одно взвешивание). Очевидно, что самая легкая монета будет среди легких, а самая тяжелая среди тяжелых. Действительно, самая легкая монета легче любой другой, а, значит, в своей паре она будет легкой. Аналогично с тяжелыми. У нас осталось 94 − 32=62 взвешивания. Теперь возьмем все «легкие» монеты. Покажем, как за 31 взвешивание определить среди них самую легкую монету. Сначала положим на каждую чашу по монете. А далее будем повторять следующую операцию: после взвешивания будем убирать тяжелую монету, и класть вместо нее любую монету, которая еще не участвовала во взвешиваниях. Ясно, что всего будет проведено 31 взвешивание. А монета, которая останется на весах и будет самой легкой. Аналогично за 31 взвешивание определим самую тяжелую монету.
Решение Решение. 2. На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса?Меридиан — это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель — окружность, параллельная экватору (экватор тоже является параллелью). Ответ Решение Решение. Сначала проведем только меридианы. Область между двумя соседними меридианами назовемдолькой. Пока глобус разбит на 24 дольки. 17 параллелей делят каждую дольку на 18 частей. Т.е. всего частей 24·18 = 432. 3. Разрежьте изображенную на рисунке доску на 4 одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала ровно 3 закрашенные клетки.
Решение Решение. 4. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две части, из которых можно сложить треугольник.
Решение Решение. 5. Пару доминошек 1×2 назовем гармоничной, если они образуют квадрат 2×2. Существует ли разбиение доски 8×8 на доминошки, в котором ровно одна гармоничная пара? Ответ Решение Решение. 6. Четырехугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2, две из которых параллельны, разбит на четыре одинаковые фигуры. В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найти отношение длины большего отрезка к меньшему.
Ответ Решение Решение. Пусть длина меньшего отрезка x, а большего y. Тогда
Сложим эти два уравнения, получим, что 4x + 4y = 3, значит, x + y = 3/4 и 2x = 1 − 3/4. Т.е. x = 1/8, а y = 5/8. Т.е. y:x = 5. 7. Разрежьте по клеточкам на 4 части фигуру, изображенную на рисунке, и сложите из них из них квадрат.
Решение Решение. 8. а) Можно ли шахматную доску разрезать на доминошки 1×2? Ответ Решение Решение. Шахматную доску можно разрезать на 8 полосок 1×8, а каждую такую полоску на 4 доминошки. б) А если из шахматной доски вырезали одну угловую клетку, то получится разрезать? Ответ Решение Решение. Каждая доминошка занимает 2 клетки. Т.е. если фигуру можно разрезать на доминошки, то в ней четное число клеток. Но 8·8 − 1 = 63 нечетно. в) А если вырезали две клетки: левую нижнюю и левую верхнюю? Ответ Решение Решение. Эту доску можно разбить на одну полоску 1×6 и 7 полосок 1×8. Каждую из них можно разрезать на доминошки. г) А если левую нижнюю и правую верхнюю? Ответ Решение Решение. Пусть поля этой доски покрашены, как в шахматах. Заметим, что вырезанные поля одного цвета. Любая доминошка покрывает одну белую и одну черную клетку. Т.е. при разбиении фигуры на доминошки количество белых и черных клеток должно быть одинаково. Но клеток одного цвета 30, а другого 32. Дополнительные задачи 9. Можно ли из квадрата 7×7 вырезать по линиям сетки 8 пятиклеточных букв «Т»? (Буквы «Т» можно поворачивать.) 10. Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2×2×2.
Ответ Решение Решение. Из Филимоново в Ксенофонтово можно доехать тремя способами. Для каждого такого способа есть еще 4 варианта доехать до Оладушкино. Значит, ответ 3·4 = 12. 2. От дачного поселка проложили две дороги до деревни Филимоново и одну дорогу до Оладушкино. Сколько теперь существует путей от Филимоново до Оладушкино?
Ответ Решение Решение. Рассмотрим пути из Филимоново до Оладушкино. Каждый из этих путей либо проходит через дачный поселок, либо нет. Путей, не проходящих через него, 12 (см. 1 задачу). Путей, проходящих через дачный поселок всего 2. Значит, всего путей 12 + 2 = 14. 3. В киоске продаются открытки, на каждой из которых изображены цветы: либо розы, либо гвоздики, либо тюльпаны. Кроме того, на каждой открытке есть поздравительная надпись: либо «С Днём рождения!», либо «С Новым годом!», либо «С 8 Марта!». Какое наибольшее число различных открыток может продаваться в этом киоске? Ответ Ответ. 9. 4.
В магазине «Всё для чая» есть 5 видов чашек, 4 вида блюдец и 2 вида ложек. Сколькими способами в этом магазине можно купить: а) набор из чашки, блюдца и ложки; Ответ Решение Решение. Чашку можно выбрать 5 способами, блюдце — 4 и ложку — двумя. Значит, всего способов 5·4·2 = 40. б) набор, состоящий из двух разных предметов? Ответ Решение Решение. Этот набор может состоять из чашки и блюдца (таких наборов 5·4 = 20), чашки и ложки (таких наборов 5·2 = 10) или блюдца и ложки (таких наборов 4·2 = 8). Т.е. всего способов 20 + 10 + 8 = 38. 5. Назовем натуральное число симпатичным, если в его записи встречаются только четные цифры. Сколько существует симпатичных четырехзначных чисел? Ответ Решение Решение. На первое место симпатичного четырехзначного числа можно поставить одну из четырех цифр: 2, 4, 6, 8. На каждую из оставшихся трех позиций можно поставить одну из пяти цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Значит, всего симпатичных четырехзначных чисел 4·5³ = 500. 6. В футбольной команде нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? (В футбольной команде 11 игроков.) Ответ Решение Решение. Капитана можно выбрать 11 способами, а для каждого способа выбрать капитана есть еще 10 способов выбрать его заместителя. Т.е. всего способов 11·10 = 110. 7. В классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных? Ответ Решение Решение. Сначала найдем количество способов выбрать старшего дежурного и его помощника. Это можно сделать 25·24 способами. Заметим, что каждая пара из двух человек A и B была посчитана дважды (когда Bпомощник A и A помощник B). Значит, всего способов выбрать двух дежурных 24·25/2 = 12·25 = 300. 8. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв: А, Б и В. Словом называется любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Ответ Решение Решение. Отдельно посчитаем количество слов из одной, двух, трех и четырех букв. Каждую букву в каждом слове можно выбрать тремя способами. Т.е. всего слов 3 + 3² + 3³ + 34 = 3 + 9 + 27 + 81 = 120. 9. Меню школьной столовой не меняется и состоит из 10 блюд. Для разнообразия Витя хочет каждый день заказывать такой набор блюд, который он еще ни разу не заказывал (при этом число блюд не важно — он может заказать все 10 блюд, а может заказать только одно или вовсе ни одного). Сколько дней он сможет так питаться? Ответ Решение Решение. Заметим, что каждое блюдо можно либо заказать, либо нет. Т.е. для каждого блюда есть два варианта. Т.е. всего разных заказов можно составить 210 = 1024. Значит, Витя сможет так питаться 1024 дня. Дополнительные задачи 10. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для пересылки можно использовать трёх курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров? 11. Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?
Ваня говорит: „Позавчера мне было ещё только 10 лет, а в следующем году исполнится уже 13”. Может ли такое быть? Ответ Решение Решение. Пусть Ваня родился 31 декабря 1999 года. А сегодня 1 января 2011 года. Тогда позавчера, 30 декабря, Ване было 10 лет. На следующий день, 31 декабря, будет его День Рождения, и ему исполнится 11 лет. В этом, 2011 году ему исполнится 12 лет, а в следующем, 2012 году ему исполнится 13 лет. 2. Можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так, чтобы они не били друг друга? Ответ Решение Решение. В каждом столбце шахматной доски может стоять не более одной ладьи. Значит, на всей доске может стоять не более 8 ладей. Но 9 > 8, значит, так расставить 9 ладей не удастся. 3. а) Существуют ли такие два последовательных натуральных числа, что сумма цифр каждого из них делится на 4? Ответ Решение Решение. Например, 39 и 40. б) А два последовательных числа с равной суммой цифр? Ответ Решение Решение. Известно, что число дает такой же остаток при делении на 3, что и сумма его цифр. У двух последовательных чисел остатки при делении на 3 разные, значит, и у сумм их цифр тоже разные. Таким образом, они не могут быть равны. 4. Может ли в месяце быть а) 3 воскресенья; Ответ Решение Решение. Предположим, что это произошло, например, в месяц M. Ясно, что если бы M начинался в понедельник, то воскресений в нем было не больше, чем есть сейчас. Но тогда бы в M было всего три недели и еще 6 дней, т.е. всего 27 дней. Но минимальное количество дней в месяце — 28. Значит, такого не может быть. б) 4 воскресенья; Ответ Решение Решение. См. пример на рисунке. Это февраль 2011 года. в) 5 воскресений; Ответ Решение Решение. См. пример на рисунке. А это май 2011 года. г) 6 воскресений? Ответ Решение Решение. Если такое возможно, то в этом месяце умещается целиком 5 недель. Т.е. в нем хотя бы 35 дней. Но такого быть не может. 5. Можно ли разрезать квадрат на квадратики двух размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших? Ответ Решение Решение. 6.
Ответ Решение Решение. Пример см. на рис. Лампочки обозначены кружочками.
7. Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется — определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты. а) Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше). Ответ Решение Решение. Покажем, что ответ удовлетворяет условию. Если Лисе достанется 80 конфет, то задача решена. Если ей достанется 10 конфет, то ей придется уровнять кучки медвежат и забрать 70 конфет. Так, она съесть 10 + 70 = 80 конфет. б) Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 конфет? Ответ Решение 
12 Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 stydopedia.ru Все материалы защищены законодательством РФ.
|
Денежной единицей Украины является гривна. В данный момент 1 гривна стоит 3 руб. 55 коп. Сколько гривен стоит 1 рубль? (Гривна, как и рубль, разменивается на 100 копеек, при нецелом числе копеек округление происходит в большую сторону.)
Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть?