Геометрический смысл векторного произведения

Билет 1

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Прямоугольной ДСК на плоскости называют две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и одинаковой масштабной единицей. Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат.

Координатой точки на плоскости называют пару чисел x и y, где . Записываются так: .

Прямоугольная система координат в пространстве (в этом параграфе имеется в виду трехмерное пространство, о более многомерных пространствах — см. ниже) образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат , и . Оси координат пересекаются в точке , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно^[2]) одинаковы для всех осей. — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат.

Рис. 2 Положение точки в пространстве определяется тремя координатами , и . Координата равна длине отрезка , координата — длине отрезка , координата — длине отрезка в выбранных единицах измерения. Отрезки , и определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям , и соответственно.

Координата называется абсциссой точки ,

координата — ординатой точки ,

координата — аппликатой точки .

Символически это записывают так: Или

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса: и т. п.

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка лежала не как на рисунке — на луче , а на его продолжении в обратную сторону от точки (на отрицательной части оси ), то абсцисса точки была бы отрицательной (минус расстоянию ). Аналогично и для двух других осей.

Прямоугольные все системы координат в трехмерном пространстве делятся на два класса — правые (также используются термины положительные, стандартные) и левые. Обычно по умолчанию стараются использовать правые координатные системы, а при их графическом изображении еще и располагать их если можно, в одном из нескольких обычных (традиционных) положений. (На рис. 2 изображена правая координатная система). Правую и левую системы координат невозможно поворотами^[3] совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (и их направления). Определить, к какому классу относится какая-либо конкретно взятая система координат можно используя правило правой руки, правило винта итп (положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси ).

Билет 2

Простейшие задачи аналитической геометрии

1. Пусть даны две точки и . Найти расстояние между ними.

Согласно теореме Пифагора, .

2. Деление отрезка в данном отношении.

Говорят, что точка C делит отрезок AB внутренним образом, если C лежит внутри AB и внешним, если C лежит вне AB.

Говорят, что точка C делит отрезок AB в отношении l, если . При этом, если , то , иначе .

Замечание: и .

Пусть даны две точки: и и пусть C делит AB в отношении l. Найдём точку C. Пусть . Тогда по теореме Фаллеса , и .

В системе из трёх материальных точек, имеющих
массы m1, m2, m3 и координаты (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) соответственно,
центр масс будет находиться на пересечении медиан (отрезков, проведённых из вершины и делящих противоположную сторону пополам) образуемого ими треугольника и иметь такие координаты (x, y):

x=(m1*x1+m2*x2+x3*m3)/(m1+m2+m3);
y=(m1*y1+m2*y2+x3*y3)/(m1+m2+m3)

Билет 3

Полярная система координат

Полярной системой координат называют точку O (полюс) и луч Ox (полярная ось), выходящий из этой точки с масштабной единицей.

Полярными координатами точки M называют пару чисел r и j, где r - расстояние от M до полюса, j - угол между радиус-векторами OM и Ox, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки ( , ).

Связь между декартовыми и полярными координатами: , .

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью.

Точка даётся как . В терминах прямоугольной системы координат:

— расстояние от до , ортогональной проекции точки на плоскость . Или то же самое, что расстояние от до оси .
— угол между осью и отрезком .
равна аппликате точки .

При использовании в физических науках и технике международный стандарт ISO 31-11 рекомендует использовать обозначения .

Некоторые математики используют .

Цилиндрические координаты удобны при анализе поверхностей, симметричных относительно какой-либо оси, если ось взять в качестве оси симметрии. Например, бесконечно длинный круглый цилиндр в прямоугольных координатах имеет уравнение , а в цилиндрических — очень простое уравнение . Отсюда и идёт для данной системы координат имя «цилиндрическая».

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где — расстояние до начала координат, а и — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

ОпределенияТри координаты определены как:

— расстояние от начала координат до заданной точки .
— угол между осью и отрезком, соединяющим начало координат и точку .
— угол между осью и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой , на плоскость (в Америке углы и меняются ролями^{[источник не указан 292 дня]}).

Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол — азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть при или ).

Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ. convention), когда вместо зенитного угла , используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость xy и самим радиус-вектором r, равный — . Он называется углом подъёма и может быть обозначен той же буквой . В этом случае он будет изменяться в пределах .

Тогда углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при , (уже при или ).

Билет 5

Векторная алгебра

Основные понятия:

Вектором называют отрезок прямой, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая – концом.

, если начало совпадает с концом.

Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых. Компланарными – лежащие на одной или параллельных плоскостях. Равными называют векторы сонаправленные и имеющие одинаковую длину. Противоположные – противоположно направленные и имеющие одинаковую длину. Ортом называют единичный вектор, сонаправленный с .

Угол между векторами: cosw= ab/|a|*|b| в координатах же :

cosw= ( x1x2+y1y2+z1z2)/(sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)+sqrt(x2^2+y2^2+z2^2))

Билет 6

Линейные операции над векторами:

1. Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.

2. Умножение вектора на число.

Произведением вектора на число l называют вектор такой, что и , если и , если . Если , то . У произвольное направление.

Линейной комбинацией векторов называют сумму произведений этих векторов на произвольные числа: .

Если является линейной комбинацией векторов , т.е. , то говорят, что разложен по векторам , а - разложение

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов: Для того чтобы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы .

1. Пусть . Тогда, по определению произведения вектора на число, .

2. Пусть . Тогда можно взять и , если и , если . Очевидно, что l существует.

Любой вектор на плоскости может быть единственным образом по двум неколлинеарным векторам.

Из рисунка видно, что такое разложение существует. Докажем единственность. Действительно, , , следовательно

Пусть также , где . Вычтем из первого уравнения второе. Получим: . Т.к. , то , т.е. , что противоречит условию.

Билет 7

Любой вектор в пространстве может быть единственным образом разложен по трём некомпланарным векторам. Доказывается аналогично.

Совокупность векторов, обладающих двумя свойствами: любой вектор может быть выражен через эти вектора и это выражение будет единственным, называется базисом. Таким образом, базис образуют любые два неколлинеарных вектора на плоскости и любые три некомпланарных в пространстве.

Пусть - базис в пространстве и вектор . Тогда числа a, b и g называют координатами вектора в базисе .

Базис образует аффинную систему координат.

Углом между векторами называют наименьший из углов, на который надо повернуть один вектор до совмещения с другим по приведения из к общему началу. Обозначение: .

Орт оси – единичный вектор, сонаправленный с осью.

Углом между вектором и осью называют угол между вектором и ортом оси.

- геометрическая проекция на ось l.

- скалярная проекция на ось l.

Свойства проекции вектора на ось:

1. .

2. .

3. .

Координаты вектора в прямоугольной декартовой системе координат

ДСК – частный случай аффинной системы координат.

Разложим по базису , который образует декартову систему координат и центр которого совпадает с началом вектора : . Здесь x, y и z – координаты вектора в базисе. Тогда , , .

Направляющие косинусы вектора в прямоугольной декартовой системе координат

Пусть a, b и g - углы, которые образует с осями ДСК (Ox, Oy и Oz). Тогда , и называют направляющими косинусами . Пусть x, y и z – координаты вектора в ДСК. Тогда , , , , , , .

Если даны две точки М1 и М2 , являющиеся соответственно началом и концом вектора а, то его коорлинаты X Y Z вычисляются по вормулам X=x2-x1 Y=y2-y1 Z=z2-z1 .

Формула |a|=Sqrt(X^2+Y^2+Z^2) позволяет по координатам вектора определить его модуль.

Если q w e – углы, которые состовляют вектор а с координатными осями, то cos q cos w cos e называются направляющими косинусами вектора а. Вследствии X=|a|cosq Y=|a|cosw Z=|a|cose

Отсюда следует, что cos^2q+cos^2w+cos^2e=1

Аффинная система координат (косоугольная система координат) — прямолинейная система координат в аффинном пространстве.

В -мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки . Аффинными координатами точки называют такие числа , что

Tочку и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора — координатными осями.

На аффинной плоскости координату называют абсциссой, а — ординатой точки . В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.

Линейные операции над векторами в аффинных координатах

Пусть , .

Свойства линейных операций:

1. .

2. .

3. .

4. для .

5. .

6. .

7. .

8. .

Пусть в пространстве выбран базис и пусть и . Тогда , , , . Таким образом, , .

Билет 8

Скалярное произведение

Скалярным произведением на называется число .

Второе определение: .

Оба определения равносильны, т.к. , .

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1. .

2. .

3. .

4. , если , иначе .

5. Геометрические свойства скалярного произведения

С помощью скалярного произведения можно находить основные метрические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов.

1. Длина вектора а находится по формуле: .

2. Величина угла между ненулевыми векторами находится по формуле:

Отсюда заключаем, что:

— ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: ;

— угол между ненулевыми векторами и острый тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно;

— угол между ненулевыми векторами и тупой тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора на ось, задаваемую вектором .

Ортогональная проекция вектора на ось, задаваемую вектором .

Если ось задается единичным вектором , то . Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скалярного произведения. Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4.

Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов: Дл того чтобы и были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы .

1.Если или , то теорема справедлива, т.к. нулевой вектор имеет произвольное направление и .

1. Пусть . Тогда и, т.к. и , то , т.е. .

2. Пусть . Тогда .

Пусть задана прямоугольная декартова система координат и пусть и . Тогда , т.к. , и .

Билет 9

Векторное произведение векторов

Три вектора называют упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из них первый, какой второй и какой третий.

Некомпланарная тройка векторов , и называется правой (левой) если после приведения их к общему началу расположен по ту сторону от плоскости векторов и , откуда наикратчайший поворот от к кажется осуществляемым против (по) часовой стрелки.